Dimostrazione invertibilità delle funzioni monotone

[python1134]

Salve ragazzi,sto provando a dimostrare che se una funzione è strettamente monotona allora è invertibile
Su internet ho trovato una dimostrazione,ma non mi convince,mi spiego meglio...

Data una funzione f strettamente monotona,per dimostrare che è invertibile,dimostra che è iniettiva.
Il mio dubbio è, non si dovrebbe dimostrare che è biettiva, ossia anche suriettiva oltre che iniettiva?

Riporto la dimostrazione qui sotto:

Consideriamo una funzione strettamente monotona.
Ciò significa che dati due valori $x1$ e $x2$ appartenenti al suo dominio,possiamo dire che:
$x1 $f(x1) < f(x2)$ STRETTA CRESCENZA
oppure
$x1 $f(x1) > f(x2)$ STRETTA DECRESCENZA
In entrambi i casi possiamo quindi dire che:
$x1!=x2 -> f(x1)!=f(x2)$
Ma questo significa affermare che la funzione è iniettiva e quindi invertibile

[@melia]

Hai ragione, ma la suriettività è espressa implicitamente, ovvero sai bene che una funzione non è definita solo da dalla $f$, ma anche dal suo dominio e codominio. Se come codominio prendiamo l'immagine stessa della funzione, allora la funzione è già suriettiva e l'unico punto da dimostrare è l'iniettività.

[Fioravante Patrone1]

Ciao, "@melia"!

In tema, a python34, capisco le tue perplessità. E' una annosa questione... oltretutto ripetutamente affrontata (non a caso).
Questi sotto sono miei post

https://www.matematicamente.it/forum/vie ... 80#p624780
https://www.matematicamente.it/forum/vie ... 89#p624789
https://www.matematicamente.it/forum/vie ... 35#p625035
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[python1134]

"@melia":Hai ragione, ma la suriettività è espressa implicitamente, ovvero sai bene che una funzione non è definita solo da dalla $f$, ma anche dal suo dominio e codominio. Se come codominio prendiamo l'immagine stessa della funzione, allora la funzione è già suriettiva e l'unico punto da dimostrare è l'iniettività.

Quindi quando faccio questo tipo di dimostrazione ,posso dire una cosa del tipo "Prendo come codominio l'immagine stessa della funzione e quindi la funzione è suriettiva"?

[python1134]

In tema, a python34, capisco le tue perplessità. E' una annosa questione... oltretutto ripetutamente affrontata (non a caso).
Questi sotto sono miei post

Li leggo subito, grazie mille