Dimostrazione inversa coseno iperbolico
Avete qualche indirizzo utile per sapere come ottenere l'inversa del coseno iperbolico
e della tangente iperbolica? Ho le formule ma non riesco ad ottenere le dimostrazioni
grazie
e della tangente iperbolica? Ho le formule ma non riesco ad ottenere le dimostrazioni
grazie
Risposte
Anzitutto il coseno iperbolico non è una funzione invertibile su tutto R, dal momento che non è iniettiva, al contrario della tangente iperbolica.
Per controllare dove le funzioni sono invertibili ti conviene studiare la stretta monotonia, facile dal momento che le funzioni in gioco sono regolari.
Poi eventualmente passi alle formule esplicite per le funzioni inverse; tieni conto che coseno e tangente iperbolica sono funzioni composte di $e^x$, per cui chiamando $t=e^x$ dovresti riuscire agevolmente a concludere.
Per controllare dove le funzioni sono invertibili ti conviene studiare la stretta monotonia, facile dal momento che le funzioni in gioco sono regolari.
Poi eventualmente passi alle formule esplicite per le funzioni inverse; tieni conto che coseno e tangente iperbolica sono funzioni composte di $e^x$, per cui chiamando $t=e^x$ dovresti riuscire agevolmente a concludere.
I primi 2 punti che hai scritto mi sono chiari tuttavia per terminare la dimostrazione
ho dovuto spulciare una dispensa scaricata da interet che in pochi passaggi
porta alla risoluzione ma..... rimane un passaggio che non riesco a digerire:
la dimostrazioe parte dicendo che la funzione arccosh è l’ inversa del coseno iperbolico
cosh sull’insieme R+; infatti
$x=(e^y+e^(-y))/2$
poi da qui sostituisci e^y con t
quindi ottengo $ t^2 - 2tx +1 =0$
dopodiche il testo dice che quanto affermato implica
$ e^y = x + sqrt (x^2 - 1) $ x appartenente a [1,+inf]
dopodiche viene fatto un'altro passaggio e si conclude...ma il resto è semplice
beh non riesco a capire il passaggio sopra menzionato ..........
per scrupolo ti posto il link http://www.science.unitn.it/~greco/dida ... d/cap9.pdf
comunque grazie per i preziosi consigli
ho dovuto spulciare una dispensa scaricata da interet che in pochi passaggi
porta alla risoluzione ma..... rimane un passaggio che non riesco a digerire:
la dimostrazioe parte dicendo che la funzione arccosh è l’ inversa del coseno iperbolico
cosh sull’insieme R+; infatti
$x=(e^y+e^(-y))/2$
poi da qui sostituisci e^y con t
quindi ottengo $ t^2 - 2tx +1 =0$
dopodiche il testo dice che quanto affermato implica
$ e^y = x + sqrt (x^2 - 1) $ x appartenente a [1,+inf]
dopodiche viene fatto un'altro passaggio e si conclude...ma il resto è semplice
beh non riesco a capire il passaggio sopra menzionato ..........
per scrupolo ti posto il link http://www.science.unitn.it/~greco/dida ... d/cap9.pdf
comunque grazie per i preziosi consigli
mi intrometto, sono sicuro che Luca.Lussardi non se ne avrà a male 
il passaggio che non ti è chiaro non è altro che la risoluzione della equazione di secondo grado nell'incognita $t$
notare che "prende solo la radice col "+""
noto che tu scrivi [1,+inf] ma, naturalmente, va scritto [1,+inf[
ciao
il passaggio che non ti è chiaro non è altro che la risoluzione della equazione di secondo grado nell'incognita $t$
notare che "prende solo la radice col "+""
noto che tu scrivi [1,+inf] ma, naturalmente, va scritto [1,+inf[
ciao
scusate se riprendo questa discussione vecchissima, ma ho un dubbio su questo problema...perchè prende solo la radice col "+"??? grazie
Ha preso solo la radice con il + per la definizione di arcocoseno iperbolico. Ad ogni modo, siccome l'arcocoseno è simmetrica rispetto l'asse delle x, prendendo il - si ottiene lo stesso grafico ma ribaltato attorno l'asse delle x appunto.
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