Dimostrazione integrazione per sostituzione

timduncan89
ho urgenza assoluta: domani ho l esame orale di analisi e non trovo da nessuno parte la dimostrazione dell' integrazione per sostituzione!
GRAZIE!

Risposte
stefano_89

timduncan89
$ lim_( n -> +oo) a^n/(n!) $ devo dimostrare che fa 0... come si potrebbe procedere?

[mod="Paolo90"]Aggiustato il codice. Passaci sopra con il mouse per vedere la sintassi corretta. Enjoy! :wink:[/mod]

timduncan89
mi scuso anche per la mia incapacità a scrivere, ma sono nuovo,... imparerò il prima possibile

Fingolfin
Ho la necessità di riportare in auge questo topic, il mio dubbio riguarda l'enunciato del Teorema. Lo riporto così come mi è stato dato.

Enunciato: Sia $f(x)$ una funzione continua in $[a,b]$ e $\phi(t) in C^1(\[\alpha , \beta\])$, poiché per il Teorema di Weierstrass la funzione $\phi(t)$ ammette massimo $M$ e minimo $m$ che potrebbero non essere inclusi nell'intervallo di definizione di $f(x)$ dico che $f(x) in C^0(\[m , M\])$. Inoltre ho che $\phi(\alpha) = a$ e $\phi(\beta) = b$ allora si ha: $\int_a^b f(x) dx = \int_{\alpha}^{\beta} f[\phi(t)] \phi\'(t) dt$.

E' corretto, o c'è un modo più veloce per scriverlo, evitando la prolissità del passaggio in cui dico che devo cambiare l'intervallo di definizione della funzione $f(x)$ ?
Grazie

gugo82
Basta richiedere che [tex]$\phi ([\alpha ,\beta])\subseteq [a,b]$[/tex].

Ad ogni modo, mi pare strano che manchi un'ipotesi di monotonia su [tex]$\phi$[/tex]... Infatti se [tex]$\phi$[/tex] non è monotona, succedono cose strane: ad esempio, consideriamo l'integrale:

[tex]$\int_{-1}^1 2\sqrt{1-t^2}\ t\ \text{d} t$[/tex];

evidentemente, essendo l'integranda dispari, l'integrale proposto è nullo; tuttavia, si potrebbe pensare di fare la sostituzione [tex]$x=\phi (t)=t^2$[/tex] ed usando la formula proposta si otterrebbe:

[tex]$0=\int_{-1}^1 2\sqrt{1-t^2}\ t\ \text{d} t =\int_0^1 \sqrt{1-x}\ \text{d} x >0$[/tex],

il che è assurdo.

Giuly191
Gugo ma che cosa è successo agli estremi di integrazione?
Io avevo capito che i problemi si possono presentare quando $phi$ non è invertibile, ma nell'altro verso dell'uguaglianza.
Sei sicuro di quell'esempio?

Rigel1
E' necessario richiedere che [tex]\phi\in C^1( [ \alpha, \beta ] )[/tex] soddisfi [tex]\phi([\alpha, \beta]) = [a,b][/tex].
In realtà, se $f\in C(I)$ con $I$ intervallo contenente $[a,b]$, allora basta che [tex][a,b]\subseteq\phi([\alpha, \beta])\subseteq I[/tex].
In questa forma dell'enunciato non è necessario richiedere che $\phi$ sia invertibile; ciò che serve, e che è garantito dalle richieste appena fatte, è individuare $\gamma, \delta\in [\alpha, \beta]$ tali che $\phi(\gamma) = a$, $\phi(\delta) = b$. In tal caso
[tex]\int_a^b f(x) dx = \int_{\gamma}^{\delta} f(\phi(t)) \phi'(t) dt.[/tex]
Questo si dimostra agevolmente osservando che, se $F$ è una primitiva di $f$, allora $F(\phi(t))$ è una primitiva di $f(\phi(t))\phi'(t)$, $t\in [a,b]$.

Fingolfin
devo dire che l'obiezione di gugo82 mi aveva sorpreso, comunque Rigel mi sembra chiaro ora. Grazie a tutti

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