Dimostrazione, integrali, funzione pari e dispari

[SteezyMenchi]

Salve a tutti. è passato un po' di tempo dall'ultima volta. Stavo facendo alcuni esercizi d'esame per divertimento.
Andava tutto bene finché non ho incontrato questo esercizio: si tratta di una dimostrazione, anche se non penso sia necessario avvalersi di chissà quali teoremi o corollari.

Sia $f : I \Rightarrow R $ continua, con $I$ intervallo simmetrico rispetto a $0$.
Dimostrare che se $f$ è dispari allora, per ogni $c \in I$, la funzione:
$F_c (x) = \int_{c}^{x} f(t)dt, x \in I$
è pari.
Io avevo pensato di dividere l'intervallo di integrazione in questo modo:
$F_c (x) = \int_{0}^{x} f(t)dt - \int_{0}^{c} f(t)dt$ e da qui lavorare sul primo integrale facendo uso del fatto che $f(x)$ è dispari. Non so bene come andare avanti. Se qualcuno fosse così gentile da darmi qualche suggerimento gliene sarei davvero grato.
Grazie in anticipo a chi vorrà rispondere
P.S. Siate clementi ho appena finito i corsi di meccanica, lab.meccanica e chimica e mi sto rinfrescando la memoria in vista di analisi vettoriale. La mia mente è letteralmente a pezzi

[Mephlip]

Consiglio: prova per sostituzione.

[marco2132k]

Inizia da \( c = 0 \), e invece di calcolare \( F(x) = F_0(x) \) calcola \( F(-x) \). E fai qualche prova per casi (x > 0, x < 0).

Ops, in ritardo.

[SteezyMenchi]

Sto avendo qualche problema con il segno dell'estremo di integrazione e la variabile muta :
$F(-x) = \int_{0}^{-x} f(-t) \cdot -dt$
ma siccome $ f(-t) = -f(t) $ ottengo:
$\int_{0}^{-x} +f(t)dt$. Non so bene come trattare quell'estremo di integrazione.
Oppure non so bene cosa tu intenda per sostituzione:
Intendi sostituire per esempio $-x=u, du = -dx \Rightarrow \int_{0}^{u} f(u)du$.Non penso che quello che ho appena scritto sia fattibile e se ciò fosse giusto non ci sarebbe la necessità di sfruttare la disparità di $f$

[Mephlip]

Se calcoli la $F$ in $-x$, devi cambiare solamente il segno dell'estremo di integrazione e non dell'argomneto della funzione integranda e del $\text{d}t$.

[marco2132k]

Nel seguito denoto con \( \int_J f \) l'integrale di \( f \) su \( J\subset I \) intervallo, e con \( \int_a^b f \), per \( a,b\in I \), integrale orientato di \( f \), definito ponendo \( \int_a^b = \int_{\left[a,b\right]} f \) se \( a < b \), o \( \int_a^b = -\int_{\left[b,a\right]} f \) se \( a > b \). Se \( x\in I \) con \( x > 0 \) hai che \( -x < 0 \) e quindi
\[
\int_0^{-x} f = -\int_{\left[-x,0\right]}f
\] Ora, per ogni \( t\in \left[-x,0\right] \) hai che \( f(t) = -f(-t) \), e quindi puoi scrivere
\[
\int_{\left[-x,0\right]}f = \int_{\left[-x,0\right]}-f(-t)\mathrm dt
\] da cui
\[
\int_0^{-x} f = \int_{\left[-x,0\right]}f(-t)\mathrm dt
\] perché i segni meno si semplificano. Tutto quello che ti rimane da dimostrare ora è che
\[
\int_{\left[-x,0\right]}f(-t)\mathrm dt = \int_{\left[0,x\right]} f(t)\mathrm dt\,\text{.}
\] Sembra ovvio ma pensaci un attimo, ti sconsiglio di usare sostituzione a macchinetta.

AAAh arrivato tardi di nuovo.

[SteezyMenchi]

Ne ero quasi sicuro infatti Mephlip. Per rispondere ad entrambi
Stavo pensando in termini grafici:
Sei io ho una $f(x)$ con un certo grafico, prendo $f(-x)$. Una trasformazione del genere ribalta il grafico della $f$ intorno all'asse $y$. Essendo l'intervallo simmetrico anch'esso rispetto all'asse $y$ e siccome integro sulla funzione dopo tale trasformazione dovrei ottenere lo stesso valore.
Sarebbe stata un'ottima osservazione se soltanto la funzione non presentasse già una simmetria rispetto all'origine e quindi la parte di grafico a sinistra dell'origine verrebbe ribaltata alla sua destra.
Alternativamente pensavo di attuare questa sostituzione alla variabile muta:
$\int_{-x,0} f(-t)dt, u = -t, -du = dt \Rightarrow \int_{x,0} f(u)-du = -\int_{+x,0}f(u)du = \int_{0,x}f(u)du = \int_{0}^{x}f(t)dt $

P.S. Ho usato la notazione introdotta da Marco per gli estremi di integrazione ma non mi metteva le parentesi quadre spero si capisca comunque