Dimostrazione integrali
Ho trovato in rete la dimostrazione della seguente proposizione
"Sia f : [a,b] → R una funzione limitata. Se σ' e σ'' sono suddivisioni di [a,b], e σ è una terza suddivisione più fine di entrambe, allora s(f,σ') ≤ s(f,σ) ≤ S(f,σ) ≤ S(f,σ'')."
al seguente indirizzo: http://people.dm.unipi.it/acquistp/analisi1.pdf
C'è un passaggio della dimostrazione (la trovate a pagina 303) che non mi è chiaro ovvero quando dice che "per definizione di mk si ha: mk ≤ inf [xk−1,x] f..."
Potreste spiegarmelo oppure indicarmi una dimostrazione alternativa?
"Sia f : [a,b] → R una funzione limitata. Se σ' e σ'' sono suddivisioni di [a,b], e σ è una terza suddivisione più fine di entrambe, allora s(f,σ') ≤ s(f,σ) ≤ S(f,σ) ≤ S(f,σ'')."
al seguente indirizzo: http://people.dm.unipi.it/acquistp/analisi1.pdf
C'è un passaggio della dimostrazione (la trovate a pagina 303) che non mi è chiaro ovvero quando dice che "per definizione di mk si ha: mk ≤ inf [xk−1,x] f..."
Potreste spiegarmelo oppure indicarmi una dimostrazione alternativa?
Risposte
Ciao.
Caratteristiche di sup e inf:
$ A\subseteqR $
$ g= text(sup)(A) text( see) $
$ 1) a\leqM text( per ogni a) ∈ A$
$ 2) text(per ogni ) ǫ>0 text( esiste a)∈A text( tc ) g-ǫ Cioè M è il min dell'insieme dei maggioranti di A.
Per la dimostrazione della Riemann Integrabilità come convergenza da sopra e da sotto di somme superiori ed inferiori delle aree n-esime dei polinomi interpolanti di grado 0 (funzioni costanti, ovvero l'area è di Rettangoli dal lato minore infinitesimo e dal lato maggiore rispettivamente il sup e l'inf di f(x)) ricorda che il trucco sta nella completezza di R in cui esiste un unico elemento separatore, limite delle due successioni. Tale limite è appunto l'integrale relativo all'intervallo (a,b). Mk e mk sono le immagini relative a f per eccesso e per difetto nella costruzione delle aree dei Rettangoli n-esimi della partizione. Ovvero il sup e il min di f(x), x$∈$[Xk-1,Xk].
Caratteristiche di sup e inf:
$ A\subseteqR $
$ g= text(sup)(A) text( see) $
$ 1) a\leqM text( per ogni a) ∈ A$
$ 2) text(per ogni ) ǫ>0 text( esiste a)∈A text( tc ) g-ǫ Cioè M è il min dell'insieme dei maggioranti di A.
Per la dimostrazione della Riemann Integrabilità come convergenza da sopra e da sotto di somme superiori ed inferiori delle aree n-esime dei polinomi interpolanti di grado 0 (funzioni costanti, ovvero l'area è di Rettangoli dal lato minore infinitesimo e dal lato maggiore rispettivamente il sup e l'inf di f(x)) ricorda che il trucco sta nella completezza di R in cui esiste un unico elemento separatore, limite delle due successioni. Tale limite è appunto l'integrale relativo all'intervallo (a,b). Mk e mk sono le immagini relative a f per eccesso e per difetto nella costruzione delle aree dei Rettangoli n-esimi della partizione. Ovvero il sup e il min di f(x), x$∈$[Xk-1,Xk].
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