Dimostrazione integrale improprio notevole.
Buonasera,
Volevo chiedervi se quanto segue è corretto. Devo dimostrare che l'integrale improprio
Questo è lo schema :
1) Sia $f(x) = 1/(x^(alpha)ln(x))$, dove $f(x) to 0 \ qquad mbox{per} \ x to + infty$
2) Ho il seguente criterio:
Siano $f,g$ due funzioni non negative definite in $[a,b[$ con $-infty
Per poter dimostrare il precedente criterio ricordo la definizione di $o$-piccolo, ossia
$**$ Si dice che $f$ è $o$-piccolo di $g$ in $x_0$, in simboli $f(x)=o(g(x))$ se
con $X,Y$ insieme di definizione rispettivamente di $f,g$.
Quindi dalla definizione di $o$-piccolo, e dal criterio del confronto per gli integrali impropri, si ha la tesi.
Infine dal criterio appena dimostrato si ha la convergenza con $alpha >1$ essendo che l'integrale improprio di funzione integranda $1/(x^alpha)$ converge per $alpha>1$ sulla semiretta $[1,+infty[$
Ci sono errori ?
Ciao
Volevo chiedervi se quanto segue è corretto. Devo dimostrare che l'integrale improprio
$int_2^(+ infty) 1/(x^(alpha)ln(x))dx$
risulta convergente se e solo se $alpha>1$.Questo è lo schema :
1) Sia $f(x) = 1/(x^(alpha)ln(x))$, dove $f(x) to 0 \ qquad mbox{per} \ x to + infty$
$f(x)=o(1/x^alpha) \ qquad alpha in RR_+$
2) Ho il seguente criterio:
Siano $f,g$ due funzioni non negative definite in $[a,b[$ con $-infty
$int_a^b g \ qquad mbox{converge} \ to int_a^b f \ qquad mbox{converge} $
$int_a^b f \ qquad mbox{diverge} \ to int_a^b g \ qquad mbox{diverge} $
$int_a^b f \ qquad mbox{diverge} \ to int_a^b g \ qquad mbox{diverge} $
Per poter dimostrare il precedente criterio ricordo la definizione di $o$-piccolo, ossia
$**$ Si dice che $f$ è $o$-piccolo di $g$ in $x_0$, in simboli $f(x)=o(g(x))$ se
$forall epsilon >0 \ qquad exists I_(x_0) \ : \ qquad forall x in I_(x_0) cap X cap Y-{x_0} \ to |f(x)| le epsilon|g(x)|$
con $X,Y$ insieme di definizione rispettivamente di $f,g$.
Quindi dalla definizione di $o$-piccolo, e dal criterio del confronto per gli integrali impropri, si ha la tesi.
Infine dal criterio appena dimostrato si ha la convergenza con $alpha >1$ essendo che l'integrale improprio di funzione integranda $1/(x^alpha)$ converge per $alpha>1$ sulla semiretta $[1,+infty[$
Ci sono errori ?
Ciao
Risposte
C'è qualcuno ? 
Beh, fin qui hai dimostrato che $alpha >1$ implica $int_2^oo 1/(x^alpha log x) text(d) x$ convergente.
Il viceversa?
Osserva che per il v.v. ti basta mostrare che $alpha <= 1$ implica $int_2^oo 1/(x^alpha log x) text(d) x$ divergente.
Il viceversa?
Osserva che per il v.v. ti basta mostrare che $alpha <= 1$ implica $int_2^oo 1/(x^alpha log x) text(d) x$ divergente.
Buonasera gugo82, grazie per la risposta e per il consiglio
Ricordo brevemente
Distinguo tre casi
1) $alpha=1$ si ha la seguente primitiva $[F(x)]_2^(+infty)=[ln|ln(x)|]_2^(+infty) to +infty \ qquad mbox{per}\ qquad x to + infty,$
2) $alpha <0 $ si ha $lim_(x to + infty) f(x)= + infty$, quindi l'integrale è divergente,
3) $0
Il terzo caso lo ammetto, ho provato graficamente, tipo con $epsilon=4$, anzi per quest'ultimo caso sono un pò perplesso.
Ciao
Ricordo brevemente
$int_2^(+ infty) f(x)\ dx$ con $f(x)=1/(x^(alpha)ln(x))$
Distinguo tre casi
1) $alpha=1$ si ha la seguente primitiva $[F(x)]_2^(+infty)=[ln|ln(x)|]_2^(+infty) to +infty \ qquad mbox{per}\ qquad x to + infty,$
2) $alpha <0 $ si ha $lim_(x to + infty) f(x)= + infty$, quindi l'integrale è divergente,
3) $0
Il terzo caso lo ammetto, ho provato graficamente, tipo con $epsilon=4$, anzi per quest'ultimo caso sono un pò perplesso.
Ciao
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