Dimostrazione integrale improprio

[Vanzo95]

Buongiorno,
Non riesco a fare due piccole dimostrazioni riguardanti l' integrale improprio. Il testo è il seguente:
Sia $ f(x) $ funzione continua e positiva nell'intervallo $ [1;+oo ) $ tale che $ lim_(x -> +oo )f(x)=0 $ .
Provare di ciascuna delle seguenti affermazioni se è vera o falsa:
1. $ int_(1)^(+oo ) f(x)/x^2 dx $ è convergente.
2. $ int_(1)^(+oo ) f(x)/sqrt(x) dx $ è divergente.

Nel primo caso l'unica idea che mi viene in mente e ricondurmi a $ int_(1)^(+oo ) 1/x^2 dx $ che è convergente.
Chiedo cortesemente un aiuto grazie a tutti in anticipo

[dan952]

Il teorema di Weierstrass che dice?

[donald_zeka]

Nella seconda basta fare un controesempio con $f(x)=1/x$

[Vanzo95]

"Vulplasir":Nella seconda basta fare un controesempio con $f(x)=1/x$

Faccio $ int_(1)^(+oo ) \(1/x)/sqrt(x) dx $ ?

"dan95":Il teorema di Weierstrass che dice?

Se una funzione è definita in un intervallo chiuso e limitato essa assume almeno un massimo e un minimo assoluti in tale intervallo. Ma come lo applico al mio problema?

Ringrazio entrambi

[dan952]

"vanzo95":[quote="Vulplasir"]Nella seconda basta fare un controesempio con $ f(x)=1/x $

Faccio $ int_(1)^(+oo ) \(1/x)/sqrt(x) dx $ ?
[/quote]
Si

"vanzo95":Se una funzione è definita in un intervallo chiuso e limitato essa assume almeno un massimo e un minimo assoluti in tale intervallo. Ma come lo applico al mio problema?

L'ipotesi del limite ci dice che fissato un $M>0$ esiste un $\varepsilon>0$ tale che $f(x)<\varepsilon\ \forall x>M$, dunque da un certo $M$ in poi la funzione è limitata da una costante quindi:
$$\int_{1}^{+\infty}\frac{f(x)}{x^2 }dx<\int_{1}^{M}\frac{f(x)}{x^2 }dx+\int_{M}^{+\infty}\frac{\varepsilon}{x^2} dx$$
$int_{M}^{+\infty}\varepsilon/x^2 dx$ sappiamo convergere e da Weierstrass sappiamo che anche $\int_{1}^{M}f(x)/x^2 dx$ convergerà.

[Vanzo95]

"dan95":[quote="vanzo95"][quote="Vulplasir"]Nella seconda basta fare un controesempio con $ f(x)=1/x $

Faccio $ int_(1)^(+oo ) \(1/x)/sqrt(x) dx $ ?
[/quote]
Si

"vanzo95":Se una funzione è definita in un intervallo chiuso e limitato essa assume almeno un massimo e un minimo assoluti in tale intervallo. Ma come lo applico al mio problema?

L'ipotesi del limite ci dice che fissato un $M>0$ esiste un $\varepsilon>0$ tale che $f(x)<\varepsilon\ \forall x>M$, dunque da un certo $M$ in poi la funzione è limitata da una costante quindi:
$$\int_{1}^{+\infty}\frac{f(x)}{x^2 }dx<\int_{1}^{M}\frac{f(x)}{x^2 }dx+\int_{M}^{+\infty}\frac{\varepsilon}{x^2} dx$$
$int_{M}^{+\infty}\varepsilon/x^2 dx$ sappiamo convergere e da Weierstrass sappiamo che anche $\int_{1}^{M}f(x)/x^2 dx$ convergerà.[/quote]

Perfetto grazie mille, chiarissimo