Dimostrazione integrabilità funzioni continue senza teorema di Cantor

[tranesend]

Salve dovrei dimostrare SENZA l'ausilio del teorema di Cantor che una funzione continua è integrabile.
Ho provato così ma non so se è effettivamente corretta questa dimostrazione.
Per Riemann una funzione è integrabile quando, presa una partizione $P:(x_0,....,x_n)$
$S(P) - s(P) -> 0$

$S(P): lim_(n->infty)((b-a)/n)*\sum_{k=0}^n M_k$
$s(P): lim_(n->infty)((b-a)/n)*\sum_{k=0}^n m_k$

$S(P)-s(p)= lim_(n->infty)((b-a)/n)*\sum_{k=0}^n (M_k - m_k)$
Dato che $f$ è una funzione continua per ipotesi, per ogni $0<=k<=n$ esisteranno un $M_k$ e un $m_k$ e dunque il limite tende a zero in quanto è un limite del tipo: $lim_(n->infty)((numero)/n)=0$

[gugo82]

Ovviamente non dimostri nulla, procedendo così.
Infatti il tuo "numero", che indovino essere la \(\sum_{k=1}^n M_k-m_k\), in realtà non è un numero poiché dipende dalla variabile di limite attraverso l'estremo superiore della sommatoria.

[tranesend]

"gugo82":Ovviamente non dimostri nulla, procedendo così.
Infatti il tuo "numero", che indovino essere la \(\sum_{k=1}^n M_k-m_k\), in realtà non è un numero poiché dipende dalla variabile di limite attraverso l'estremo superiore della sommatoria.

Hai ragione, non ci avevo pensato. Allora esiste un modo per dimostrarlo senza l'ausilio del teorema di Cantor che non abbiamo fatto?

[gugo82]

Dipende da quale approccio all'integrale state seguendo; ma, in ogni caso, l'uniforme continuità va usata in qualche modo (anche perché la nozione di uniforme continuità nasce proprio in relazione alla questione dell'integrabilità delle funzioni continue sui compatti).

Da che testo studi?

[tranesend]

"gugo82":Dipende da quale approccio all'integrale state seguendo; ma, in ogni caso, l'uniforme continuità va usata in qualche modo (anche perché la nozione di uniforme continuità nasce proprio in relazione alla questione dell'integrabilità delle funzioni continue sui compatti).

Da che testo studi?

Studio da "analisi matematica uno" di Marcellini-Sbordone dove viene utilizzato il teorema di Cantor. La professoressa lo ha dimostrato senza l'ausilio di questo teorema e dunque sto cercando una dimostrazione analoga. Forse è meglio che chiedo a qualcuno del mio corso di passarmi gli appunti su quell'argomento. Grazie