Dimostrazione - $\int_0^(2 pi) |f(z)|^2 d theta$
Supponiamo di avere una funzione olomorfa in una certa regione $Omega$ del piano complesso, la quale funzione è sviluppabile in serie di potenze di $z - a$ con $a$ un punto interno ad $Omega$. Sia
$f(z) = \sum_(n=0)^(oo) c_n ( z - a )^n$ e sia $R > 0$ il suo raggio di convergenza.
Ponendo $z - a = r e^(i \theta)$ si trova che:
$f(z) = \sum_(n=0)^(oo) c_n r^n e^(i n \theta)$
e indicando con $bar c_n , bar r , e^(- i \theta )$ i coniugati di $c_n , r , e^( i \theta )$ si trova che:
$|f(z)|^2 = \sum_(n=0)^(oo) c_n r^n e^(i n \theta) \sum_(n=0)^(oo) bar c_n (bar r)^n e^(- i n \theta)$
Moltiplicando alla Cauchy le due serie on the right-hand side dovrebbe aversi:
$|f(z)|^2 = \sum_(n=0)^(oo) r^n \sum_(k=0)^(n) c_k bar c_(n-k) e^(i \theta (2k - n))$
Prima domanda: posso evitare di mettere il modulo a secondo membro? Per le proprietà del coniugato al secondo membro dovrebbe esserci immancabilmente una serie numerica reale...
Grazie.
$f(z) = \sum_(n=0)^(oo) c_n ( z - a )^n$ e sia $R > 0$ il suo raggio di convergenza.
Ponendo $z - a = r e^(i \theta)$ si trova che:
$f(z) = \sum_(n=0)^(oo) c_n r^n e^(i n \theta)$
e indicando con $bar c_n , bar r , e^(- i \theta )$ i coniugati di $c_n , r , e^( i \theta )$ si trova che:
$|f(z)|^2 = \sum_(n=0)^(oo) c_n r^n e^(i n \theta) \sum_(n=0)^(oo) bar c_n (bar r)^n e^(- i n \theta)$
Moltiplicando alla Cauchy le due serie on the right-hand side dovrebbe aversi:
$|f(z)|^2 = \sum_(n=0)^(oo) r^n \sum_(k=0)^(n) c_k bar c_(n-k) e^(i \theta (2k - n))$
Prima domanda: posso evitare di mettere il modulo a secondo membro? Per le proprietà del coniugato al secondo membro dovrebbe esserci immancabilmente una serie numerica reale...
Grazie.
Risposte
Infatti lo è: prova a calcolarti quanto vale [tex]$\mathrm{Im}\left(r^n\sum_{k=0}^n c_k\bar{c}_{k-n} e^{i\theta(2k-n)}\right)$[/tex] e convinciti che è pari a zero. 
"ciampax":
Infatti lo è: prova a calcolarti quanto vale [tex]$\mathrm{Im}\left(r^n\sum_{k=0}^n c_k\bar{c}_{k-n} e^{i\theta(2k-n)}\right)$[/tex] e convinciti che è pari a zero.
Ti ringrazio per questa illuminazione.
Seconda domanda che ho da porre; sul testo è riportato che la serie a secondo membro è integrabile termine a termine rispetto a $theta$ in $(0, 2 pi)$ perché minorante della serie convergente: $\sum_(n = 0)^(oo) r^n \sum_(k = 0)^n | c_k bar c_(n - k) |$.
La maggiorazione è chiara, ma questo risultato da dove viene?
Rinnovo la mia domanda.
"Seneca":
[...] sul testo è riportato che la serie a secondo membro è integrabile termine a termine rispetto a $theta$ in $(0, 2 pi)$ perché minorante della serie convergente: $\sum_(n = 0)^(oo) r^n \sum_(k = 0)^n | c_k bar c_(n - k) |$.
La maggiorazione è chiara, ma questo risultato da dove viene?
Domanda: qual è il carattere della serie [tex]$\sum_{n=0}^\infty |c_n| r^n$[/tex] (ricorda che essa è legata all'analiticità della funzione $f(z)$). Detto questo, cosa fa il prodotto di Cauchy di due serie numeriche "fatte bene"?
Il prodotto alla Cauchy è, in questo caso, una serie convergente, va bene... Ma questo mi dà informazioni sull'integrabilità in campo complesso?
Grazie.
Grazie.
Certo: fai conto che stai integrando [tex]$|f(z)|^2\ge 0$[/tex] (è una funzione reale definita positiva): se provi a vedere quanto fa [tex]$\left|\int_0^{2\pi} |f(x)|^2\ d\theta\right|$[/tex] con opportune maggiorazioni ed usando l'espressione che hai scritto, ti accorgerai che l'integrale è opportunamente maggiorato dalla serie numerica reale che viene fuori, che converge, e pertanto anche il suo integrale (tra $0$ e $2\theta$) risulta finito.
Penso di aver focalizzato il dubbio. Il problema è il passaggio in cui integro la serie prodotto. Il testo, facendo i calcoli, integra termine a termine la serie di potenze. Questo scambio tra il simbolo di serie e quello di integrale è possibile quando si ha a che fare con una serie di funzioni che è uniformemente convergente.
Cosa mi garantisce che la serie prodotto lo sia?
Cosa mi garantisce che la serie prodotto lo sia?
"Seneca":
Questo scambio tra il simbolo di serie e quello di integrale è possibile quando si ha a che fare con una serie di funzioni che è uniformemente convergente.
Non ho seguito tutta la discussione perché non mi intendo di Analisi Complessa.
L'unica cosa che ti posso dire (e che spero possa esserti utile) è che - stando a quanto so io - quella che citi è una condizione solo sufficiente: cioè se la serie è unif convergente allora posso integrare termine a termine.
Non credo però che la condizione sia anche necessaria; sarei felice comunque di sentire il parere di un esperto, potrei benissimo sbagliarmi.
Se il termine generale è integrabile e la convergenza è uniforme, allora la serie è integrabile termine a termine.
Che io sappia il teorema è questo, se una serie è integrabile termine a termine potrebbe anche darsi che non converga uniformemente.
Che io sappia il teorema è questo, se una serie è integrabile termine a termine potrebbe anche darsi che non converga uniformemente.
No, no... Infatti usavo la sufficienza.
Ed usare la convergenza monotona o anche la convergenze dominata, usando come successione le somme parziali?
"Paolo90":
[quote="Seneca"]Questo scambio tra il simbolo di serie e quello di integrale è possibile quando si ha a che fare con una serie di funzioni che è uniformemente convergente.
Non ho seguito tutta la discussione perché non mi intendo di Analisi Complessa.
L'unica cosa che ti posso dire (e che spero possa esserti utile) è che - stando a quanto so io - quella che citi è una condizione solo sufficiente: cioè se la serie è unif convergente allora posso integrare termine a termine.
Non credo però che la condizione sia anche necessaria; sarei felice comunque di sentire il parere di un esperto, potrei benissimo sbagliarmi.
[/quote]Ma certo che non è necessaria.
Basta prendere ad esempio:
\[f_n(x):=\begin{cases} n &\text{, se } x=\frac{1}{n} \\ 0 &\text{, altrimenti}\end{cases}\]
in modo da avere una successione di funzioni integrabili che converge puntualmente alla funzione nulla, che ha gli integrali nulli (sicché è possibile passare al limite sotto il segno d'integrale), ma che non è convergente uniformemente (infatti \(\sup |f_n-f_m|=|n-m|\)).
@ gugo82: certamente. Ti ringrazio per aver dissipato quel dubbio.
"Seneca":
la serie a secondo membro è integrabile termine a termine rispetto a $theta$ in $(0, 2 pi)$ perché minorante della serie convergente: $\sum_(n = 0)^(oo) r^n \sum_(k = 0)^n | c_k bar c_(n - k) |$.
Ho ancora qualche dubbio su questa parte.
$| r^n \sum_(k = 0)^n c_k bar c_(n - k) e^(i theta ( 2k - n ) ) | <= r^n \sum_(k = 0)^n | c_k bar c_(n - k) |$
ma poi non capisco come dimostrare l'uniforme convergenza della serie a secondo membro.
Ho sistema le cose... E' tutto chiaro.
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