Dimostrazione insiemi aperti

[stagna1]

spesso sul mio testo di analisi 1 (soardi, ma ho visto anche sul rudin) l'a. dimostra che un insieme è chiuso facendo vedere che il suo complementare è aperto.

"...esiste allora un intorno B(p,r) che non contiene punti di A, quindi B(p,r) è contenuto nel complementare di A, quindi p è interno al complementare di A, quindi il complementare è aperto".

credo che mi manchi qualche passaggio perchè non capisco come mai dal fatto che un insieme contiene un aperto si fa seguire che l'insieme è aperto. [x,y] è chiuso ma contiene infiniti aperti...

sarà sicuramente una banalità ma mi sfugge.

grazie.

[gio73]

Provo a esprimermi in maniera diversa, spero di non sbagliare (controllate!).

Allora un insieme è aperto se prendendo un qualsiasi punto, anche vicino, vicinissimo alla frontiera riesco sempre a disegnare un disco di centro il punto e raggio r, piccolo a piacere, che è tutto contenuto nell'insieme

Il tuo libro dice: se un insieme è chiuso il suo complementare è aperto, allora prendo un qualsiasi punto nel complementare e verifico che posso disegnare il solito disco ecc...