Dimostrazione insieme aperto
Buonasera,
In senso generale (in \(\displaystyle R^n \) ) come si procede per dimostrare che un certo insieme A è aperto?
In senso generale (in \(\displaystyle R^n \) ) come si procede per dimostrare che un certo insieme A è aperto?
Risposte
un insieme è aperto se non contiene i suoi punti di accumulazione. un punto è di accumulazione se per ogni intorno di tale punto (piccolo quanto ti pare) ci sono punti dell'insieme. quindi per vedere se un insieme è aperto, innanzitutto disegna l'insieme e poi vedi c'è qualche punto che non sta nell'insieme ma al quale si avvicinano indefinitivamente i punti dell'insieme? se si è aperto se no è chiuso. capito?
[xdom="Seneca"]Attenzione ai lettori. Questo post contiene molteplici inesattezze matematiche.[/xdom]
[xdom="Seneca"]Attenzione ai lettori. Questo post contiene molteplici inesattezze matematiche.[/xdom]
"sheldon":
un insieme è aperto se non contiene i suoi punti di accumulazione. un punto è di accumulazione se per ogni intorno di tale punto (piccolo quanto ti pare) ci sono punti dell'insieme. quindi per vedere se un insieme è aperto, innanzitutto disegna l'insieme e poi vedi c'è qualche punto che non sta nell'insieme ma al quale si avvicinano indefinitivamente i punti dell'insieme? se si è aperto se no è chiuso. capito?
Detto fuori dai denti: hai scritto una marea di scempiaggini.
Intanto aggiustiamo le idee su questi punti:
1. Un insieme è aperto se ogni suo punto è un punto interno. Oppure è aperto se il complementare contiene tutti i suoi punti di accumulazione (cioè se il complementare è chiuso)...
2. Se un insieme non è aperto non vuol dire che sia chiuso. Non esistono solo insiemi chiusi e insiemi aperti in generale.
scusate se riesumo il post..ma serve anche a me adesso e non vorrei riparire un altra discussione..
ma per dimostrare che un certo insieme è aperto basta applicare la definizione del tipo"L'insieme A è aperto perchè prendendo qualsiasi suo punto noto che è interno cioè è contenuto in una qualsiasi palla aperta contenuta nell'insieme " oppure doveri fare una vera dimostrazione(sulla falsa riga della dimostrazione de"una palla aperta è un insieme aperto")cioè ad esempio prendendo una palla aperta certamente contenuta nell'insieme e trovando un altra palla aperta che puo essere contenuta nella palla precedente?(facendo uso della disuguaglianza triangolare prendendo un terzo punto contenuto nella seconda palla)
ma per dimostrare che un certo insieme è aperto basta applicare la definizione del tipo"L'insieme A è aperto perchè prendendo qualsiasi suo punto noto che è interno cioè è contenuto in una qualsiasi palla aperta contenuta nell'insieme " oppure doveri fare una vera dimostrazione(sulla falsa riga della dimostrazione de"una palla aperta è un insieme aperto")cioè ad esempio prendendo una palla aperta certamente contenuta nell'insieme e trovando un altra palla aperta che puo essere contenuta nella palla precedente?(facendo uso della disuguaglianza triangolare prendendo un terzo punto contenuto nella seconda palla)
parlo un poco da profano, premetto che di questioni topologiche ne so ancora molto poco. Ergo, conosco solo definizione di aperto, chiuso, palle, intorni sferici e poco altro ancora.
Mi riferisco ora ad $RR$ con metrica $d$ standard (la distanza usuale).
Richiamiamo nel seguito la definizione di aperto e chiuso.
Se $Asube RR$ si dice chiuso se $Dr(A) sube A$ , cioè se $A$ contiene tutti i punti accomulazione.
$A$ si dice aperto se $C|_(RR)(A)$ (il complementare è chiuso) o equivalentemente se denotiamo con $A'$ l'insieme dei punti interni di $A$
si ha che $A'=A$.
Per mostrare , nei casi semplici che un insieme è aperto o chiuso o nessuno dei due, puoi rifarti alla definizione. Ad esempio
$RR$ è sia aperto che chiuso. Infatti $Dr(RR)=RR sube RR$ e in particolare se $x_0 \in RR$ $AA U \in I_(x_0) : U sube RR$ . Ciò deriva dal fatto che $RR$ è denso in se stesso.
$NN$ è un chiuso . Infatti $Dr(NN)=\phi sube RR$ . Ma non è aperto.
L'insieme vuoto è un insieme sia aperto che chiuso.
I singleton sono insiemi chiusi ma non aperti.
Gli intervalli di tipo $[a,b]$ sono chiusi ma non aperti. Chiusi perché si mostra facilmente che $Dr([a,b])=[a,b]$ ,Non aperti perché $AA U \in I_(a,b) : U$ non è contenuto in $[a,b]$. E così via...
In generale si può far uso, per casi semplici , alla definizione tenendo a mente determinate proprietà.
Del tipo, tenere a mente che : Sia $I$ una famiglia di indici. $C_i$ insiemi chiusi di $RR$.
1) L'intersezione di tutti i $C_i$ è un chiuso.
2) Se I è finito. L'unione di tutti i $C_i$ è chiusa.
Se $C_i$ sono aperti,allora
l'unione dei $C_i$ è un aperto e se $I$ è finito lo stesso vale per l'intersezione.
Spero di non aver detto troppe amenità e di esserti stato d'aiuto, ciao!
Mi riferisco ora ad $RR$ con metrica $d$ standard (la distanza usuale).
Richiamiamo nel seguito la definizione di aperto e chiuso.
Se $Asube RR$ si dice chiuso se $Dr(A) sube A$ , cioè se $A$ contiene tutti i punti accomulazione.
$A$ si dice aperto se $C|_(RR)(A)$ (il complementare è chiuso) o equivalentemente se denotiamo con $A'$ l'insieme dei punti interni di $A$
si ha che $A'=A$.
Per mostrare , nei casi semplici che un insieme è aperto o chiuso o nessuno dei due, puoi rifarti alla definizione. Ad esempio
$RR$ è sia aperto che chiuso. Infatti $Dr(RR)=RR sube RR$ e in particolare se $x_0 \in RR$ $AA U \in I_(x_0) : U sube RR$ . Ciò deriva dal fatto che $RR$ è denso in se stesso.
$NN$ è un chiuso . Infatti $Dr(NN)=\phi sube RR$ . Ma non è aperto.
L'insieme vuoto è un insieme sia aperto che chiuso.
I singleton sono insiemi chiusi ma non aperti.
Gli intervalli di tipo $[a,b]$ sono chiusi ma non aperti. Chiusi perché si mostra facilmente che $Dr([a,b])=[a,b]$ ,Non aperti perché $AA U \in I_(a,b) : U$ non è contenuto in $[a,b]$. E così via...
In generale si può far uso, per casi semplici , alla definizione tenendo a mente determinate proprietà.
Del tipo, tenere a mente che : Sia $I$ una famiglia di indici. $C_i$ insiemi chiusi di $RR$.
1) L'intersezione di tutti i $C_i$ è un chiuso.
2) Se I è finito. L'unione di tutti i $C_i$ è chiusa.
Se $C_i$ sono aperti,allora
l'unione dei $C_i$ è un aperto e se $I$ è finito lo stesso vale per l'intersezione.
Spero di non aver detto troppe amenità e di esserti stato d'aiuto, ciao!
"Kashaman":
$RR$ è sia aperto che chiuso. Infatti $Dr(RR)=RR sube RR$ e in particolare se $x_0 \in RR$ $AA U \in I_(x_0) : U sube RR$ . Ciò deriva dal fatto che $RR$ è denso in se stesso.
Cosa vuoi dire qui?
Stavo cercando di dire questo.
$RR$ è sia denso che chiuso. Infatti, $Dr(RR)=R$ e $RR sube RR$. Inoltre è aperto. In quanto se $x_0 \in RR$, Qualunque $U $ intorno sferico di centro $x_0$ è contenuto in $RR$. Forse ho usato in maniera sbagliato il termine denso.. volevo dire questo :
Siccome $U$ è in particolare un intervallo di $RR$ , allora è ovviamente contenuto in $RR$. E quindi $RR$ è aperto.
Sbaglio?
$RR$ è sia denso che chiuso. Infatti, $Dr(RR)=R$ e $RR sube RR$. Inoltre è aperto. In quanto se $x_0 \in RR$, Qualunque $U $ intorno sferico di centro $x_0$ è contenuto in $RR$. Forse ho usato in maniera sbagliato il termine denso.. volevo dire questo :
Siccome $U$ è in particolare un intervallo di $RR$ , allora è ovviamente contenuto in $RR$. E quindi $RR$ è aperto.
Sbaglio?
Io direi che il fatto che lo spazio $RR$ è sia chiuso che aperto è diretta conseguenza degli assiomi della topologia su $RR$.
Comunque sì, il termine densità non c'entra niente con il discorso che stai facendo.
Comunque sì, il termine densità non c'entra niente con il discorso che stai facendo.
quindi si da come ho capito dovrei semplicemente applicare le definizioni..grazie mille 
"Seneca":
Io direi che il fatto che lo spazio $RR$ è sia chiuso che aperto è diretta conseguenza degli assiomi della topologia su $RR$.
Comunque sì, il termine densità non c'entra niente con il discorso che stai facendo.
hai ragione seneca, l'ho un po sparata male, mi scuso. Per il resto ciò che dico è corretto?
Scusate ho un problema. Non so come disegnare un insieme. Ovvero come faccio a sapere se i punti sono interni all insieme? L insieme come si disegna ?
L esercizio mi chiede di mostrare se i seguenti insiemi sono aperti, di determinare la frontiera e dire se sono limitati.
A= {(x,y) che appartiene a R2 : -1
L esercizio mi chiede di mostrare se i seguenti insiemi sono aperti, di determinare la frontiera e dire se sono limitati.
A= {(x,y) che appartiene a R2 : -1
"Loubna":
Attendo urgentemente risposta grazie
... disse colui che postò con cinque anni di ritardo
Comunque, per disegnare quell'insieme devi semplicemente trovare i punti $(x,y)inRR^2$ tali che $x in(-1,1)$, ovvero la porzione di piano delimitata dalle due rette verticali agli estremi dell'intervallo.
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