Dimostrazione induttiva potenza del binomio
Inizio con lo scusarmi per le foto anziché le formule scritte, ma essendo nuovo ed essendo molte, le trovo enormemente tediose da scrivere.
Il mio problema nasce nel momento in cui sostituisco nella [1.20] ciò che mi dice di sostituire, e scrivendo a parte i termini con $k=0$ e $k=n+1$ dell'equazione $(n!)/((k-1)!*(n+1-k)!)$ per ottenere rispettivamente i valori $b^(n+1)$ e $a^(n+1)$ .
Sostituendo $k=n+1$ mi esce $a^(n+1)$, ma quando sostituisco $k=0$ mi esce il fattoriale di un numero negativo, di preciso, $(n!)/((-1)!*(n+1)!)*b^(n+1)$ e non solamente $b^(n+1)$ (quindi suppongo che quando vado a sostituire $k=0$ dovrebbe essere $(n!)/((k-1)!*(n+1-k)!)=1$ altrimenti non tornerebbe...).
Non sto capendo dove sto sbagliando, mi potete aiutare?
Grazie in anticipo
.
Risposte
A uno sguardo rapido (anche data l'ora), mi sembra che tu abbia sostituito $k=0$ nel posto sbagliato.
Non devi sostituire in $(n!)/((k-1)!(n+1-k)!)$, quella sommatoria parte da $k=1$, ma nella 1.20 devi isolare il primo termine della sommatoria, quello per $k=0$, dove il coefficiente è $(n!)/(k!(n-k)!)$, che per $k=0$ dà $1$.
Non devi sostituire in $(n!)/((k-1)!(n+1-k)!)$, quella sommatoria parte da $k=1$, ma nella 1.20 devi isolare il primo termine della sommatoria, quello per $k=0$, dove il coefficiente è $(n!)/(k!(n-k)!)$, che per $k=0$ dà $1$.
Ciao Darius00,
Concordo con gabriella127: tutte le manipolazioni sono state fatte sulla prima sommatoria, la seconda continua a partire da $k = 0 $.
Ora è tardi e non ho voglia di scriverti tutto il contenuto della foto (che andrebbero sempre evitate, perché a lungo andare spariscono rendendo il thread poco significativo quando non illeggibile) che hai postato nell'OP, magari lo faccio domani. Ti scrivo solo il passaggio finale:
$(a + b)^{n + 1} = \sum_{k = 1}^{n + 1} (n!)/((k - 1)!(n + 1 - k)!) a^k b^{n + 1 - k} + \sum_{k = 0}^n (n!)/(k!(n - k)!) a^k b^{n + 1 - k} $
Nella prima sommatoria per $k = n + 1 $ si ottiene proprio $a^{n + 1}$; nella seconda per $k = 0 $ si ottiene proprio $b^{n + 1}$
Concordo con gabriella127: tutte le manipolazioni sono state fatte sulla prima sommatoria, la seconda continua a partire da $k = 0 $.
Ora è tardi e non ho voglia di scriverti tutto il contenuto della foto (che andrebbero sempre evitate, perché a lungo andare spariscono rendendo il thread poco significativo quando non illeggibile) che hai postato nell'OP, magari lo faccio domani. Ti scrivo solo il passaggio finale:
$(a + b)^{n + 1} = \sum_{k = 1}^{n + 1} (n!)/((k - 1)!(n + 1 - k)!) a^k b^{n + 1 - k} + \sum_{k = 0}^n (n!)/(k!(n - k)!) a^k b^{n + 1 - k} $
Nella prima sommatoria per $k = n + 1 $ si ottiene proprio $a^{n + 1}$; nella seconda per $k = 0 $ si ottiene proprio $b^{n + 1}$
"gabriella127":
A uno sguardo rapido (anche data l'ora), mi sembra che tu abbia sostituito $ k=0 $ nel posto sbagliato.
Non devi sostituire in $ (n!)/((k-1)!(n+1-k)!) $, quella sommatoria parte da $ k=1 $, ma nella 1.20 devi isolare il primo termine della sommatoria, quello per $ k=0 $, dove il coefficiente è $ (n!)/(k!(n-k)!) $, che per $ k=0 $ dà $ 1 $.
"pilloeffe":
Ciao Darius00,
Concordo con gabriella127: tutte le manipolazioni sono state fatte sulla prima sommatoria, la seconda continua a partire da $k = 0 $.
Ora è tardi e non ho voglia di scriverti tutto il contenuto della foto (che andrebbero sempre evitate, perché a lungo andare spariscono rendendo il thread poco significativo quando non illeggibile) che hai postato nell'OP, magari lo faccio domani. Ti scrivo solo il passaggio finale:
$(a + b)^{n + 1} = \sum_{k = 1}^{n + 1} (n!)/((k - 1)!(n + 1 - k)!) a^k b^{n + 1 - k} + \sum_{k = 0}^n (n!)/(k!(n - k)!) a^k b^{n + 1 - k} $
Nella prima sommatoria per $k = n + 1 $ si ottiene proprio $a^{n + 1}$; nella seconda per $k = 0 $ si ottiene proprio $b^{n + 1}$
Ringrazio entrambi per il tempo dedicato e finalmente ho capito come fare. Quasi mi vergogno per la stupidità dell'errore.
Grazie ancora.
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