Dimostrazione inclusione Spazi $L^p$
Ciao a tutti,
sul mio libro leggo che se $Omega$ è misurabile secondo Lebesgue e ha misura finita, si ha che:
$1<=p
Qualcuno di voi sa dove posso reperire la dimostrazione ? Mi piacerebbe vedere perchè e come viene usata l'ipotesi che $Omega$ abbia misura finita.
Grazie in anticipo
sul mio libro leggo che se $Omega$ è misurabile secondo Lebesgue e ha misura finita, si ha che:
$1<=p
Qualcuno di voi sa dove posso reperire la dimostrazione ? Mi piacerebbe vedere perchè e come viene usata l'ipotesi che $Omega$ abbia misura finita.
Grazie in anticipo
Risposte
Non misura nulla... misura finita!
Prova a farlo per esercizio, è molto semplice... basta usare la disuguaglianza di H\"older in modo furbo. Tieni conto che se \( p < r \), allora \( \frac{r}{p} > 1 \) e quindi... Facci sapere!
Prova a farlo per esercizio, è molto semplice... basta usare la disuguaglianza di H\"older in modo furbo. Tieni conto che se \( p < r \), allora \( \frac{r}{p} > 1 \) e quindi... Facci sapere!
P.S.: Se \(|\Omega|=0\) allora tutti gli spazi \(L^p\) con \(p<\infty\) sono uguali, mentre \(L^\infty\) è vuoto... Perchè?
"s.stuv":
Non misura nulla... misura finita!
Prova a farlo per esercizio, è molto semplice... basta usare la disuguaglianza di H\"older in modo furbo. Tieni conto che se \( p < r \), allora \( \frac{r}{p} > 1 \) e quindi... Facci sapere!
O piu semplicemente $|f|^p <= 1 +|f|^r$
"DajeForte":
O piu semplicemente $|f|^p <= 1 +|f|^r$
Anche
Ok,
grazie a tutti per le risposte.
Trovo il tempo per pensarci
@s.stuv intendevo scrivere, come sopra, misura finita ovviamente! (stavo pensando a due cose contemporaneamente)
grazie a tutti per le risposte.
Trovo il tempo per pensarci
@s.stuv intendevo scrivere, come sopra, misura finita ovviamente! (stavo pensando a due cose contemporaneamente)
Vediamo un po',
allora la disuguaglianza di Holder mi dice che se $finL^P(Omega)$ e $ginL^r(Omega)$ si ha che $f*ginL^1(Omega)$, sia $r$ l'esponente coniugato di $p$ e risulta:
$||f*g||_1<=||f||_p*||g||_r$.
Sotto l'ipotesi $1<=p
Suppongo $finL^r(Omega)$, devo dimostrare che $finL^(p)(Omega)$, che equivale a verificare che $||f||_p$ sia finita.
$||f||_p=||f*1||_p=(int_(Omega)|f*1|^pdmu)^(1/p)=(int_(Omega)|f^p*1|dmu)^(1/p)=||f^p*1||_1^(1/p)$
Prima di proseguire usando la disuguaglianza di Holder, il procedimento verso la soluzione è corretto o sono ubriaco?
@gugo domani provo a pensare anche al tuo P.S.
allora la disuguaglianza di Holder mi dice che se $finL^P(Omega)$ e $ginL^r(Omega)$ si ha che $f*ginL^1(Omega)$, sia $r$ l'esponente coniugato di $p$ e risulta:
$||f*g||_1<=||f||_p*||g||_r$.
Sotto l'ipotesi $1<=p
Suppongo $finL^r(Omega)$, devo dimostrare che $finL^(p)(Omega)$, che equivale a verificare che $||f||_p$ sia finita.
$||f||_p=||f*1||_p=(int_(Omega)|f*1|^pdmu)^(1/p)=(int_(Omega)|f^p*1|dmu)^(1/p)=||f^p*1||_1^(1/p)$
Prima di proseguire usando la disuguaglianza di Holder, il procedimento verso la soluzione è corretto o sono ubriaco?
@gugo domani provo a pensare anche al tuo P.S.
No, devi fare attenzione... La disuguaglianza di Holder non dice quello che hai scritto tu.
Cioè, ho sbagliato addirittura la definizione della disuguaglianza? Allora devo proprio andare a letto. Ci riguardo domani.
Grazie
Grazie
Sì... vedi subito con un esempio che quell'affermazione che hai riportato sarebbe falsa. Ad esempio, la funzione \( f(x) = \displaystyle \frac{1}{x} \) sta in \( L^2(1,+\infty) \) e la funzione \( g(x) = 1 \) sta in \( L^{\infty}(1,+\infty) \), ma il loro prodotto, cioè la funzione \( (fg)(x) = \displaystyle \frac{1}{x} \) si guarda bene dallo stare in \( L^1(1,+\infty) \)! La disuguaglianza di Holder dice che se \( f \in L^p(\mu) \) e \( g \in L^q(\mu) \), dove \( q \) è[...], allora bla bla bla. Guarda un po' sul libro cosa c'è al posto dei puntini. Ovviamente, dopo una buona dormita. Ciao.
Guarda un po' sul libro cosa c'è al posto dei puntini. Ovviamente, dopo una buona dormita. Ciao.
Ok, il sonno mi ha portato consiglio ed ho corretto l'errore.
I primi passaggi che ho scritto possono essere utili al fine della dimostrazione ?
I primi passaggi che ho scritto possono essere utili al fine della dimostrazione ?
Sì, la strada è quella. Se rileggi il mio primo post, c'è un suggerimento importante.
Provo a proseguire:
$||f||_p=||f^p*1||_1^(1/p)<=||f^p||_(r/p)^(1/p)*||1||_(r/((r-p)))^(1/p)$
$||f||_p<=(int_(Omega)|f|^(p*r/p)dmu)^(1/p*p/r)*(mis_(L)(Omega))^(1/p-1/r)$
$||f||_p<=(int_(Omega)|f|^(r)dmu)^(1/r)*(mis_(L)(Omega))^(1/p-1/r)$
Dove ho sfruttato che:
Se $finL^r(Omega)$ allora$f^p inL^(r/p)(Omega)$, infatti: $||f^p||_(r/p)^(1/p)=||f||_r$
Va bene ?
edit:correzione
$||f||_p=||f^p*1||_1^(1/p)<=||f^p||_(r/p)^(1/p)*||1||_(r/((r-p)))^(1/p)$
$||f||_p<=(int_(Omega)|f|^(p*r/p)dmu)^(1/p*p/r)*(mis_(L)(Omega))^(1/p-1/r)$
$||f||_p<=(int_(Omega)|f|^(r)dmu)^(1/r)*(mis_(L)(Omega))^(1/p-1/r)$
Dove ho sfruttato che:
Se $finL^r(Omega)$ allora$f^p inL^(r/p)(Omega)$, infatti: $||f^p||_(r/p)^(1/p)=||f||_r$
Va bene ?
edit:correzione
Sì... però non hai diviso per \( p \) l'esponente di \( \mu (\Omega) \). La relazione finale è proprio
\[
\| f \|_{p} \leq \big ( \mu(\Omega) \big )^{\frac{1}{p} - \frac{1}{r}} \| f \|_{r}
\]
per \( 1 \leq p < r \leq \infty \). Come vedi, è essentiale l'ipotesi che \( \mu(\Omega) < \infty \). Ora pensa un po' all'osservazione di @gugo.
\[
\| f \|_{p} \leq \big ( \mu(\Omega) \big )^{\frac{1}{p} - \frac{1}{r}} \| f \|_{r}
\]
per \( 1 \leq p < r \leq \infty \). Come vedi, è essentiale l'ipotesi che \( \mu(\Omega) < \infty \). Ora pensa un po' all'osservazione di @gugo.
Grazie s.stuv, anche se ci ho messo un po' ce l'ho fatta
Adesso provo a rispondere a questa:
Se $mis(Omega)=0$ tutti gli spazi $L^p(Omega)$ con $p<+oo$ sono uguali.
$DIM:$ Prendiamo una generica $finL^p(Omega)$ e proviamo che $finL^q(Omega)$ con $q<+oo$ e $q!=p$.
La dimostrazione è immediata in quanto: $int_(Omega)|x^p|dmu=int_(Omega)|x^q|dmu=0$.
Che $L^(+oo)(Omega)$ sia vuoto (se $mis(Omega)=0$) secondo me dipende dal fatto che nella definizione di funzioni "essenzialmente limitate" si chiede che queste verifichino una certa disuguaglianza quasi dappertutto nell'insieme $Omega$.
Ora se $Omega$ ha misura nulla non possono soddisfare una certa proprietà quasi dappertutto.
Spero di non aver scritto delle boiate clamorose, in caso contrario vi autorizzo a farmi del dolore fisico
Adesso provo a rispondere a questa:
"gugo82":
P.S.: Se \(|\Omega|=0\) allora tutti gli spazi \(L^p\) con \(p<\infty\) sono uguali, mentre \(L^\infty\) è vuoto... Perchè?
Se $mis(Omega)=0$ tutti gli spazi $L^p(Omega)$ con $p<+oo$ sono uguali.
$DIM:$ Prendiamo una generica $finL^p(Omega)$ e proviamo che $finL^q(Omega)$ con $q<+oo$ e $q!=p$.
La dimostrazione è immediata in quanto: $int_(Omega)|x^p|dmu=int_(Omega)|x^q|dmu=0$.
Che $L^(+oo)(Omega)$ sia vuoto (se $mis(Omega)=0$) secondo me dipende dal fatto che nella definizione di funzioni "essenzialmente limitate" si chiede che queste verifichino una certa disuguaglianza quasi dappertutto nell'insieme $Omega$.
Ora se $Omega$ ha misura nulla non possono soddisfare una certa proprietà quasi dappertutto.
Spero di non aver scritto delle boiate clamorose, in caso contrario vi autorizzo a farmi del dolore fisico
Ci sono vicino in almeno una delle due?
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