Dimostrazione funzione crescente su R
Ciao,
ho un esercizio che mi chiede di dimostrare che la funzione è crescente su R. Sotto trovate quello che ha scritto il prof, ma non ho capito molto, qualcuno può aiutarmi?
$f(x)=$$\{(4x^2),(6x-4):}$
$4x^2$ se x>=0
$6x-4$ se x<0
(non riuscivo a scriverlo bene nel sistema)
Diciamo che mi sono perso da quando dice "Inoltre, se $x<0
c) Dato che $f′(x) > 0$ in $(−∞, 0)$ e in $(0, +∞)$, la funzione è crescente sulla semiretta $(−∞, 0)$ e sulla semiretta $[0, +∞)$.
Inoltre, se $x < 0 < y$ si ha:
(1) $f(x) = 6 x − 4 < 0 ≤ 4y^2 = f(y)$
Siano ora $x < y$ in R. Se $x < y < 0$ si ha $f(x) < f(y)$ perché la funzione è crescente su $(−∞, 0)$;
se $x < 0 ≤ y$, si ha $f(x) < f(y)$ per la (1); se $0 ≤ x < y$ si ha $f(x) < f(y)$ perché la funzione è crescente
su $(0, +∞)$. In definitiva,
$x < y ⇒ f(x) < f(y)$,
e quindi f(x) è crescente su R.
ho un esercizio che mi chiede di dimostrare che la funzione è crescente su R. Sotto trovate quello che ha scritto il prof, ma non ho capito molto, qualcuno può aiutarmi?
$f(x)=$$\{(4x^2),(6x-4):}$
$4x^2$ se x>=0
$6x-4$ se x<0
(non riuscivo a scriverlo bene nel sistema)
Diciamo che mi sono perso da quando dice "Inoltre, se $x<0
c) Dato che $f′(x) > 0$ in $(−∞, 0)$ e in $(0, +∞)$, la funzione è crescente sulla semiretta $(−∞, 0)$ e sulla semiretta $[0, +∞)$.
Inoltre, se $x < 0 < y$ si ha:
(1) $f(x) = 6 x − 4 < 0 ≤ 4y^2 = f(y)$
Siano ora $x < y$ in R. Se $x < y < 0$ si ha $f(x) < f(y)$ perché la funzione è crescente su $(−∞, 0)$;
se $x < 0 ≤ y$, si ha $f(x) < f(y)$ per la (1); se $0 ≤ x < y$ si ha $f(x) < f(y)$ perché la funzione è crescente
su $(0, +∞)$. In definitiva,
$x < y ⇒ f(x) < f(y)$,
e quindi f(x) è crescente su R.
Risposte
Ho l'impressione tu non sappia cos'è una funzione crescente
C'è veramente bisogno di percularmi? Non mi pare il caso...
Lol, dove ti avrei perculato? Mi sembra evidente che non sai cosa significa essere una funzione crescente; scrivilo, e ti accorgerai che è tutto completamente ovvio.
C'è un limite inferiore al grado delle domande che meritano di ricevere un'imbeccata; questa è una conseguenza talmente diretta della definizione che l'unico motivo per cui non ti è chiaro quel che hai letto è non aver capito la detta definizione. Per il resto, se esser mess@ davanti alla tua inadeguatezza ti frustra, bene così, fai tesoro di questa sensazione: partecipi del sentimento di costante deficienza di chiunque studi matematica, e non dovresti trovarlo per niente umiliante (di certo non di fronte a me/noi). Semplicemente, spostare più su il livello di ciò che non sai.
C'è un limite inferiore al grado delle domande che meritano di ricevere un'imbeccata; questa è una conseguenza talmente diretta della definizione che l'unico motivo per cui non ti è chiaro quel che hai letto è non aver capito la detta definizione. Per il resto, se esser mess@ davanti alla tua inadeguatezza ti frustra, bene così, fai tesoro di questa sensazione: partecipi del sentimento di costante deficienza di chiunque studi matematica, e non dovresti trovarlo per niente umiliante (di certo non di fronte a me/noi). Semplicemente, spostare più su il livello di ciò che non sai.
Venendo, ora, al necessario esercizio di premasticare un'ovvietà per poi vomitartela in bocca, la risposta alla tua domanda è questa: quando hai definito una qualsiasi funzione \(f : \mathbb R \to \mathbb R\), il suo dominio e il suo codominio sono (totalmente) ordinati dalla solita relazione \(\le\) che confronta due numeri reali.
Una funzione $f$ come sopra allora è (debolmente) crescente quando ogni volta che \(x
Il fatto che $f$ sia definita "a tratti" da due espressioni concrete e concise (polinomi...) rende la verifica negli ultimi due casi conseguenza del fatto che le funzioni con cui $f$ coincide sui reali positivi o negativi, definite globalmente da \(\mathbb R\) in sé stesso, sono tutte e due (debolmente) crescenti nel senso che ho appena detto.
Una funzione $f$ come sopra allora è (debolmente) crescente quando ogni volta che \(x
Il fatto che $f$ sia definita "a tratti" da due espressioni concrete e concise (polinomi...) rende la verifica negli ultimi due casi conseguenza del fatto che le funzioni con cui $f$ coincide sui reali positivi o negativi, definite globalmente da \(\mathbb R\) in sé stesso, sono tutte e due (debolmente) crescenti nel senso che ho appena detto.
grazie
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