Dimostrazione funzione crescente derivata positiva
Ciao a tutti,
Sto guardando questo teorema:
Una funzione derivabile definita su un intervallo è crescente se e solo se la derivata è positiva.
La parte che mi interessa è: derivata positiva allora crescente.
Il mio libro (e un po' ovunque su internet) lo dimostra attraverso Lagrange. Ora, io avevo pensato a un'altra dimostrazione, quasi sicuramente sbagliata, ma vorrei capire perché non corretta.
Allora, se la funzione è derivabile significa che esiste il limite del rapporto incrementale, e questo limite sarà positivo per ipotesi. Ma essendo positivo significa che denominatore e numeratore sono entrambi o positivi o negativi. In entrambi i casi questo implica che la funzione sia crescente.
Sto guardando questo teorema:
Una funzione derivabile definita su un intervallo è crescente se e solo se la derivata è positiva.
La parte che mi interessa è: derivata positiva allora crescente.
Il mio libro (e un po' ovunque su internet) lo dimostra attraverso Lagrange. Ora, io avevo pensato a un'altra dimostrazione, quasi sicuramente sbagliata, ma vorrei capire perché non corretta.
Allora, se la funzione è derivabile significa che esiste il limite del rapporto incrementale, e questo limite sarà positivo per ipotesi. Ma essendo positivo significa che denominatore e numeratore sono entrambi o positivi o negativi. In entrambi i casi questo implica che la funzione sia crescente.
Risposte
È sbagliata perché non metti in relazione i punti abbastanza distanti, tu stai ragionando localmente
In che senso?
$f:[0,1]-> RR$ con derivata positiva, come fai a dimostrare che $f(x)<=f(y)$ per ogni $x<=y$?
Sicuramente per quello che hai notato,fissato $x$, puoi dimostrare che esiste un suo intorno $I$ per cui:
Per ogni $y in I$ con $x<=y$ vale $f(x)<=f(y)$.
Per ogni $y in I$ con $x>=y$ vale $f(x)>=f(y)$
Solo questo ragionamento non basta per concludere la dimostrazione
Sicuramente per quello che hai notato,fissato $x$, puoi dimostrare che esiste un suo intorno $I$ per cui:
Per ogni $y in I$ con $x<=y$ vale $f(x)<=f(y)$.
Per ogni $y in I$ con $x>=y$ vale $f(x)>=f(y)$
Solo questo ragionamento non basta per concludere la dimostrazione
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo