Dimostrazione funzione convessa con la definizione
Salve,
ho delle difficoltà con le dimostrazioni delle funzioni convesse.
L'esercizio è: "Dimostrare che una funzione strettamente convessa ha al più un punto di minimo".
La pratica mi è chiara ma nel momento in cui devo dimostrare con la definizione ho grandi dubbi.
Come posso fare?
Grazie in anticipo.
ho delle difficoltà con le dimostrazioni delle funzioni convesse.
L'esercizio è: "Dimostrare che una funzione strettamente convessa ha al più un punto di minimo".
La pratica mi è chiara ma nel momento in cui devo dimostrare con la definizione ho grandi dubbi.
Come posso fare?
Grazie in anticipo.
Risposte
up
Supponi, per assurdo, che la funzione abbia due punti di minimo distinti, diciamo \(x_0 < x_1\).
Quanto vale la funzione per \(x\in [x_0, x_1]\)?
Quanto vale la funzione per \(x\in [x_0, x_1]\)?
Non so come impostare il ragionamento...
Nel senso se penso che esistono due punti di minimo la funzione in quell'intervallo potrebbe avere un punto di massimo (quindi cresce e decresce) penso debba per forza avere un comportamento del genere altrimenti non si avrebbe un secondo punto di minimo. Escludo che siano dei flessi altrimenti non sarebbero punti di minimo. Non credo sia questa la strada da seguire, vero?
Nel senso se penso che esistono due punti di minimo la funzione in quell'intervallo potrebbe avere un punto di massimo (quindi cresce e decresce) penso debba per forza avere un comportamento del genere altrimenti non si avrebbe un secondo punto di minimo. Escludo che siano dei flessi altrimenti non sarebbero punti di minimo. Non credo sia questa la strada da seguire, vero?
Ricordati che la funzione è convessa.
Per definizione, il grafico non può mai stare sopra alcuna corda congiungente due punti del grafico stesso.
Di conseguenza, nell'intervallo \([x_0, x_1]\) la funzione deve essere costante.
Per definizione, il grafico non può mai stare sopra alcuna corda congiungente due punti del grafico stesso.
Di conseguenza, nell'intervallo \([x_0, x_1]\) la funzione deve essere costante.
Giusto, giusto. Quindi posso risolvere l'esercizio affermando ciò e facendo un esempio pratico? per esempio $ y=x^2 $ ?
"KilyM":
Giusto, giusto. Quindi posso risolvere l'esercizio affermando ciò e facendo un esempio pratico? per esempio $ y=x^2 $ ?
No; devi dimostrare che, se per assurdo ci sono due punti \(x_0 < x_1\) di minimo assoluto, allora la funzione è costante nell'intervallo \([x_0, x_1]\). Da qui segue che non è strettamente convessa.
Devi dunque sfruttare la convessità per dimostrare quanto detto sopra.
Va bene, dimmi se è corretto.
Innanzitutto so che per ipotesi la funzione è strettamente convessa pertanto la funzione sarà minore della retta secante passante per due punti di essa. Il fatto che sia strettamente convessa, mi permette di dire che questa retta incontra solo in due punti $(x1,f(x1))$ e $(x2,f(x2))$ il grafico. Dunque si avrà: $ f(x)
Ma questo contraddice l'ipotesi perchè non garantisce la convessità in quanto il grafico della funzione sarà al di sopra della secante che unisce i due punti di minimo. Dunque non possono esistere due punti di minimo. Giusto?
Innanzitutto so che per ipotesi la funzione è strettamente convessa pertanto la funzione sarà minore della retta secante passante per due punti di essa. Il fatto che sia strettamente convessa, mi permette di dire che questa retta incontra solo in due punti $(x1,f(x1))$ e $(x2,f(x2))$ il grafico. Dunque si avrà: $ f(x)
Ma questo contraddice l'ipotesi perchè non garantisce la convessità in quanto il grafico della funzione sarà al di sopra della secante che unisce i due punti di minimo. Dunque non possono esistere due punti di minimo. Giusto?
Probabilmente ciò che sto per dire è simile a quello che hai scritto, ma senza quantificatori faccio fatica a seguire quello che scrivi.
Diciamo che hai due punti di minimo \(x_0 < x_1\); chiamiamo \(m := f(x_0) = f(x_1)\).
Poiché \(f\) è convessa e ha minimo \(m\) hai che
\[
m \leq f((1-\lambda) x_0 + \lambda x_1) \leq (1-\lambda) f(x_0) + \lambda f(x_1) = m,\qquad \forall \lambda\in [0,1],
\]
dunque \(f(x) = m\) per ogni \(x\in [x_0, x_1]\).
Diciamo che hai due punti di minimo \(x_0 < x_1\); chiamiamo \(m := f(x_0) = f(x_1)\).
Poiché \(f\) è convessa e ha minimo \(m\) hai che
\[
m \leq f((1-\lambda) x_0 + \lambda x_1) \leq (1-\lambda) f(x_0) + \lambda f(x_1) = m,\qquad \forall \lambda\in [0,1],
\]
dunque \(f(x) = m\) per ogni \(x\in [x_0, x_1]\).
Va bene, grazie mille!
Scusami se non ho scritto in modo chiaro.
Scusami se non ho scritto in modo chiaro.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo