Dimostrazione funzione continua e derivabile
Salve a tutti. Ho un problema da cui non riesco a venirne in fuori.
Ecco il testo:
Sia \(\displaystyle f ∈ C^1 [0,1], f(0)=0, f(1)=1 \)
Dimostrare che esiste un punto \(\displaystyle c ∈ (0,1) \) tale che \(\displaystyle f'(c) = 2c \)
Ecco il testo:
Sia \(\displaystyle f ∈ C^1 [0,1], f(0)=0, f(1)=1 \)
Dimostrare che esiste un punto \(\displaystyle c ∈ (0,1) \) tale che \(\displaystyle f'(c) = 2c \)
Risposte
In pratica la funzione $f'(x)-2x$ deve avere uno zero, quali sono teoremi che ti dicono sotto alcune ipotesi che una funzione ha uno zero?
Ci avevo già pensato, ma mi fermavo.
\(\displaystyle g(x) = f'(x) - 2x \)
Usando il teorema degli zeri di Bolzano:
1) g è continua in (a,b)? Sì, perchè somma di funzioni continue.
2) \(\displaystyle g(a)*g(b)<0 \) dove \(\displaystyle a,b ∈ (0,1) \) ?
E qui non capisco come andare avanti.
\(\displaystyle g(x) = f'(x) - 2x \)
Usando il teorema degli zeri di Bolzano:
1) g è continua in (a,b)? Sì, perchè somma di funzioni continue.
2) \(\displaystyle g(a)*g(b)<0 \) dove \(\displaystyle a,b ∈ (0,1) \) ?
E qui non capisco come andare avanti.
"rando":
Ci avevo già pensato, ma mi fermavo.
\(\displaystyle g(x) = f'(x) - 2x \)
Usando il teorema degli zeri di Bolzano:
1) g è continua in (a,b)? Sì, perchè somma di funzioni continue.
2) \(\displaystyle g(a)*g(b)<0 \) dove \(\displaystyle a,b ∈ (0,1) \) ?
E qui non capisco come andare avanti.
Perché una volta tanto quando c'è bisogno che una funzione si annulli in qualche punto non si fa con Bolzano, ma con Rolle...
Considera la funzione
$$g (x)=f(x)-x^2$$
e applica Rolle a quella.
$$g (x)=f(x)-x^2$$
e applica Rolle a quella.
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