Dimostrazione Frenet
Buongiorno a tutti, volevo chiedervi se qualcuno poteva illuminarmi brevemente su quanto accade in questa dimostrazione (matriciale) delle formule di Frenet, che il mio professore di Analisi ci ha presentato dicendo proprio "questa versione non la trovate facilmente in giro":
La tesi è
$T'_{(s)}=\kappa_{(s)}N_{(s)}$
$N'_{(s)}=-\kappa_{(s)}\tau_{(s)}-\tau_{(s)}B_{(s)}$
$B'_{(s)}=\tau_{(s)}N_{(s)}$
Dim.
Costruiamo la matrice
$A_{3x3}=((T_{(s)}),(B_{(s)}),(N_{(s)}))$ che risulta matrice ortogonale, perchè formata da tre vettori ortonormali, per costruzione dei tre vettori stessi.
Per le proprietà delle matrici ortogonali,
$A A^T=A^TA=Id$
per cui, derivando una delle due scritture, per esempio $A A^T=Id$
$d(A A^T)/(ds)=0$ perchè derivata di una costante (la matrice identità), e:
$rArr d(A)/(ds) A^T+A(d(A^T))/(ds)=0$
il che equivale a dire
$d(A)/(ds) A^T+(d(A)/(ds) A^T)^T=0$
dall'algebra lineare, sappiamo che una matrice $B=B^T$ è detta simmetrica, e a sua volta $B+B^T=0$ è antisimmetrica. Ci troviamo in questo caso, perciò possiamo porre per comodità $d(A)/(ds) A^T=M_{(s)}$, matrice antisimmetrica.
allora $d(A)/(ds)=M_{(s)}A_{(s)}$
e inoltre
$M_{3x3}=((0, kappa_{(s)}, 0),(-kappa_{(s)}, 0, -tau_{(s)}),(0,tau_{(s)}, 0))$ da cui segue la tesi, moltiplicando $M$ per $A$ con il prodotto matrice.
ma qualcuno mi può gentilmente illuminare su come sia stata costruita la matrice $M$ con $kappa$ e $tau$? (cioè: segni, zeri chiari, deve essere simmetrica e avere la diagonale principale nulla, è proprio la scelta di quegli elementi che mi è oscura).
La tesi è
$T'_{(s)}=\kappa_{(s)}N_{(s)}$
$N'_{(s)}=-\kappa_{(s)}\tau_{(s)}-\tau_{(s)}B_{(s)}$
$B'_{(s)}=\tau_{(s)}N_{(s)}$
Dim.
Costruiamo la matrice
$A_{3x3}=((T_{(s)}),(B_{(s)}),(N_{(s)}))$ che risulta matrice ortogonale, perchè formata da tre vettori ortonormali, per costruzione dei tre vettori stessi.
Per le proprietà delle matrici ortogonali,
$A A^T=A^TA=Id$
per cui, derivando una delle due scritture, per esempio $A A^T=Id$
$d(A A^T)/(ds)=0$ perchè derivata di una costante (la matrice identità), e:
$rArr d(A)/(ds) A^T+A(d(A^T))/(ds)=0$
il che equivale a dire
$d(A)/(ds) A^T+(d(A)/(ds) A^T)^T=0$
dall'algebra lineare, sappiamo che una matrice $B=B^T$ è detta simmetrica, e a sua volta $B+B^T=0$ è antisimmetrica. Ci troviamo in questo caso, perciò possiamo porre per comodità $d(A)/(ds) A^T=M_{(s)}$, matrice antisimmetrica.
allora $d(A)/(ds)=M_{(s)}A_{(s)}$
e inoltre
$M_{3x3}=((0, kappa_{(s)}, 0),(-kappa_{(s)}, 0, -tau_{(s)}),(0,tau_{(s)}, 0))$ da cui segue la tesi, moltiplicando $M$ per $A$ con il prodotto matrice.
ma qualcuno mi può gentilmente illuminare su come sia stata costruita la matrice $M$ con $kappa$ e $tau$? (cioè: segni, zeri chiari, deve essere simmetrica e avere la diagonale principale nulla, è proprio la scelta di quegli elementi che mi è oscura).
Risposte
Ciao, per una dimostrazione alternativa ti segnalo queste dispense (Teorema 4.6 pag. 49 (dell'indice) ovvero la pag 57 del file):
http://www.dm.unito.it/quadernididattic ... riaIII.pdf
http://www.dm.unito.it/quadernididattic ... riaIII.pdf
grazie maxsiviero per l'alternativa, la dispensa è chiara sulla dimostrazione, al massimo mi imparerò questa...Tuttavia se c'è qualcun altro che invece mi può spiegare la "mia", sarebbe meglio 
EDIT
Ma certo! Luce fu
Come le buone dispense dicono, "La prima formula di Frenet segue immediatamente dalla definizione di campo normale", per cui
$N_{(s)}:=(T'_{(s)})/||T'_{(s)}||$
dove $k_{(s)}:=||T'_{(s)}||$, perciò
$T'_{(s)}:=N_{(s)}k_{(s)}$
partendo da questa,
ricordando che la derivata di T la si ottiene nella nostra dimostrazione moltiplicando la prima riga di M con il primo elemento della matrice A, affinchè questo sia uguale a quanto ottenuto qui sopra, la prima riga di M deve necessariamente essere $((0,kappa, 0))$. ($lArr$ eureka!!
)
Come precedentemente detto, si procede poi riempendo le diagonali con gli 0, che è una proprietà delle matrici antisimmetriche.
Allo stesso modo, riempiamo l'elemento simmetico a quello occupato da $kappa$ con il suo opposto.
Per i due elementi che restano vacanti allora, introduciamo un nuovo operatore che chiamiamo $tau$.
$tau$ è esplicitabile dalla terza formula che ottengo e perciò $B'_{(s)}=-tau_{(s)}N_{(s)} $ da cui segue la formula della torsione.
Lascio il topic se i moderatori son d'accordo che magari questa dimostrazione può sempre essere utile a qualcuno, no?
//EDIT
EDIT
Ma certo! Luce fu
Come le buone dispense dicono, "La prima formula di Frenet segue immediatamente dalla definizione di campo normale", per cui
$N_{(s)}:=(T'_{(s)})/||T'_{(s)}||$
dove $k_{(s)}:=||T'_{(s)}||$, perciò
$T'_{(s)}:=N_{(s)}k_{(s)}$
partendo da questa,
ricordando che la derivata di T la si ottiene nella nostra dimostrazione moltiplicando la prima riga di M con il primo elemento della matrice A, affinchè questo sia uguale a quanto ottenuto qui sopra, la prima riga di M deve necessariamente essere $((0,kappa, 0))$. ($lArr$ eureka!!
) Come precedentemente detto, si procede poi riempendo le diagonali con gli 0, che è una proprietà delle matrici antisimmetriche.
Allo stesso modo, riempiamo l'elemento simmetico a quello occupato da $kappa$ con il suo opposto.
Per i due elementi che restano vacanti allora, introduciamo un nuovo operatore che chiamiamo $tau$.
$tau$ è esplicitabile dalla terza formula che ottengo e perciò $B'_{(s)}=-tau_{(s)}N_{(s)} $ da cui segue la formula della torsione.
Lascio il topic se i moderatori son d'accordo che magari questa dimostrazione può sempre essere utile a qualcuno, no?
//EDIT
Una volta dimostrato che la matrice è antisimmetrica, da quante funzioni incognite indipendenti dipende una tale matrice?
Evidentemente da tre. Senza ulteriori ipotesi non si sarebbe potuto prendere l'elemento M13 = 0.
Se è stato fatto allora si è considerato che la derivata del versore tangente è diretto lungo il versore normale.
Questo, del resto, è uno dei primi risultati della teoria e può essere usato tranquillamente.
Quindi, la dimostrazione è molto elegante ma, per essere completata, si deve comunque supporre di avere già dimostrato che la derivata del versore tangente è diretto lungo il versore normale.
Evidentemente da tre. Senza ulteriori ipotesi non si sarebbe potuto prendere l'elemento M13 = 0.
Se è stato fatto allora si è considerato che la derivata del versore tangente è diretto lungo il versore normale.
Questo, del resto, è uno dei primi risultati della teoria e può essere usato tranquillamente.
Quindi, la dimostrazione è molto elegante ma, per essere completata, si deve comunque supporre di avere già dimostrato che la derivata del versore tangente è diretto lungo il versore normale.
Una cosa così insomma:
$M = ((0,b,c),(-b,0,d),(-c, -d, 0))*((T),(N),(B))=((T'),(N'),(B'))$
$T'=Nb+Bc$
$N'=-bT+dB$
$B'=-cT-dN$
dalla prima:
$c=(T'-Nb)/B rArr $sostituendo nell'ultima $B'=-(T'-Nb)/BT-dN rArr B'=-(T*T'-T*Nb)/B-dN$
Ma
$T*T=||T||^2=k$ con k costante. Derivando ambo i membri:
$2T*T'=0$, ovvero $T*T'=0$
Ricordando ora che il vettore normale è stato definito come $N:=(T')/||T'|| rArr T'=N*||T'||$ la scrittura diventa:
$T*N*||T'||=0$ (semplifichiamo il modulo di T, che è un numero e se esiste N, ovviamente è diverso da 0).
Abbiamo ottenuto che il prodotto scalare del versore tangente e quello normale è 0, cioè i due sono perpendicolari.
$rArr B'=-(T*T'-T*Nb)/B-dN=-dN$ i due prodotti $T*T'$ e $T*N$ vanno a 0, per quanto appena dimostrato.
Possiamo concludere allora dicendo: avendo visto che questi due membri vanno a 0, il termine che si ottiene relativo a M31 è identicamente nullo e quindi lo stesso deve essere anche M13?
$M = ((0,b,c),(-b,0,d),(-c, -d, 0))*((T),(N),(B))=((T'),(N'),(B'))$
$T'=Nb+Bc$
$N'=-bT+dB$
$B'=-cT-dN$
dalla prima:
$c=(T'-Nb)/B rArr $sostituendo nell'ultima $B'=-(T'-Nb)/BT-dN rArr B'=-(T*T'-T*Nb)/B-dN$
Ma
$T*T=||T||^2=k$ con k costante. Derivando ambo i membri:
$2T*T'=0$, ovvero $T*T'=0$
Ricordando ora che il vettore normale è stato definito come $N:=(T')/||T'|| rArr T'=N*||T'||$ la scrittura diventa:
$T*N*||T'||=0$ (semplifichiamo il modulo di T, che è un numero e se esiste N, ovviamente è diverso da 0).
Abbiamo ottenuto che il prodotto scalare del versore tangente e quello normale è 0, cioè i due sono perpendicolari.
$rArr B'=-(T*T'-T*Nb)/B-dN=-dN$ i due prodotti $T*T'$ e $T*N$ vanno a 0, per quanto appena dimostrato.
Possiamo concludere allora dicendo: avendo visto che questi due membri vanno a 0, il termine che si ottiene relativo a M31 è identicamente nullo e quindi lo stesso deve essere anche M13?
Se ho già dimostrato che la derivata del versore tangente è diretto lungo il versore normale, allora già dalla prima equazione scritta che determina la derivata del versore tangente si ricava subito c=0.
Mi sembra di ricordare che esista almeno un approccio in cui quel risultato è derivato all'inizio della teoria delle curve.
Secondo me il tuo docente lo prende già assodato, altrimenti non avrebbe scritto c=0 senza colpo ferire.
Mi sembra di ricordare che esista almeno un approccio in cui quel risultato è derivato all'inizio della teoria delle curve.
Secondo me il tuo docente lo prende già assodato, altrimenti non avrebbe scritto c=0 senza colpo ferire.
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