Dimostrazione formule di Gauss Green

[asabasa]

Ipotesi: $X,Y in C^1(A)$ con $DsubA$
$D$ dominio regolare, la sua frontiera $partialD$ è formate da curve generalmente regolari semplici e chiuse.

Allora valgono le seguenti
$int_D X_x(x,y) dxdy = int_{+partialD} X dy$
$int_D Y_y(x,y) dxdy = -int_{+partialD} Y dx$

Dimostrazione:
considero un dominio normale all'asse y:
$c
$int_D X_x(x,y) dxdy = int_c^d (int_{gamma(y)^{delta(y)} X_x(x,y) dx)dy$

$=int_c^d [X(delta(y),y)-X(gamma(y),y)]dy$

Non resta che dimostrare che quest'ultima è uguale all'integrale di $int_{+partialD} X dy$

Consideriamo ora un dominio normale rispetto all'asse x
$a
E Definisco la funzione:

$F(x,y)= int_a^x X(t,alpha(t))alpha'(t) + int_{alpha(x)}^y X_x(x,t) dt$

Allora : $F_x(x,y)=int_{alpha(x)}^y X_x(x,t) dt$
$F_y=X(x,y)$

allora la forma differenziale $omega=F_xdx+F_ydy$ è esatta, perchè $F_x$ e $F_y$ sono differenziali ( )

allora l'integrale esteso alla frontiera di $D$ della forma $omega$ è nullo, allora:

$0=int_{+partialD}F_xdx+F_ydy= int_b^a int_{alpha(x)}^{beta(x)} X_x(x,t) dt +int_{+partialD}X(x,y)dy$ [size=150]***[/size]

$int_a^b int_{alpha(x)}^{beta(x)} X_x(x,t) dt =int_{+partialD}X(x,y)dy$

Va bene così la dimostrazione? Cosa devo aggiungere?
[size=150]***[/size]L'ultimo passaggio non mi è chiarissimo

Scopo:
Le formule consentono di ridurre il calcolo di un integrale doppio esteso a un insieme D del piano compatto e connesso per poligonali e con frontiera sufficientemente regolare, al calcolo di un integrale di una
forma differenziale esteso alla frontiera del dominio opportunamente orientata.

[asabasa]

"asabasa":
Allora : $F_x(x,y)=int_{alpha(x)}^y X_x(x,t) dt$
$F_y=X(x,y)$

Qualcuno mi spiega come si calcolano queste due derivate?
Ossia come si applica il teorema di derivazione sotto al segno di integrale(nella prima) e il teorema fondamentale del calcolo integrale (in entrambe)?

Perchè poi la forma differenziale risulta esatta?