Dimostrazione formula risoluzione ODE lineari, 1° ordine

[Dust1]

Ciao a tutti, vorrei avere un chiarimento su un passaggio della dimostrazione citata nel titolo. Il passaggio comunque non fa riferimento alla formula di base, ma a quella per esplicitare il problema di cauchy in funzione di un parametro:



Praticamente, non riesco a capire cosa fa per arrivare al passaggio dopo "La soluzione del problema di Cauchy(7) è dunque completamente determinata: ...."

Vi ringrazio, ciao

[Dust1]

Ho anche un'altro problema, riguardante la ricerca delle soluzioni dell'omogenea associata. Se l'equazione caratteristica dell'omogenea associata ha $Delta=0$ avra 2 soluzioni coincidenti $lambda$. Perciò dobbiamo considerare come soluzioni dell'omogenea associata $e^(lambdax)$ ed $xe^(lambdax)$ perchè sono linearmente indipendenti. Ed è proprio qua che non riesco a capire bene. Ossia, so che affinchè 2 funzioni $y_1$ ed $y_2$(entrambe definite da $IsubeRR->RR$) siano linearmente indipendenti bisogna che $alphay_1+betay_2$=0 sia verificata solo se $alpha=beta=0$ ma nel caso delle 2 soluzioni sopra, $alphae^(lambdax)+betaxe^(lambdax)=0$ non è verificata anche per esempio per $alpha=-1$ e $beta=1$ se $x=1$?

Vi prego, aiutatemi..

[GIOVANNI IL CHIMICO]

Prova a guardare il determinate wronskiano.

[Dust1]

"GIOVANNI IL CHIMICO":Prova a guardare il determinate wronskiano.

Non l'abbiamo trattato a lezione.. Comunque si riferiva alla 1° o alla 2° domanda?

[GIOVANNI IL CHIMICO]

va beh, è un buon modo per verificare se le soluzioni che hai trovato sono una base per lo spazio delle soluzioni.
Comunque veniamo a noi, a me risulta che due soluzioni $y_1(t)$ e $y_2(t)$ siano linearmente indipendenti se non esistono due costanti $c_1$ e $c_2$ (non entrambe nulle) tali che $c_1y_1(t)+c_2y_2(t)=0$ PER OGNI $t$ appartente al dominio. Il fatto che in un punto la combinazione si possa annullare non dice nulla sul fatto che si annulli ovunque.

[Dust1]

"GIOVANNI IL CHIMICO":va beh, è un buon modo per verificare se le soluzioni che hai trovato sono una base per lo spazio delle soluzioni.
Comunque veniamo a noi, a me risulta che due soluzioni $y_1(t)$ e $y_2(t)$ siano linearmente indipendenti se non esistono due costanti $c_1$ e $c_2$ (non entrambe nulle) tali che $c_1y_1(t)+c_2y_2(t)=0$ PER OGNI $t$ appartente al dominio. Il fatto che in un punto la combinazione si possa annullare non dice nulla sul fatto che si annulli ovunque.

Ti ringrazio. Credo sia stata una svista del prof quando ha dato la definizione.. Ora si spiega tutto.. Ciao