Dimostrazione formula fondamentale del calcolo integrale
Salve a tutti, come da titolo avrei bisogno di un'informazione sulla dimostrazione della formula fondamentale, o più che altro di una conferma. Girando su internet la prima dimostrazione che ho trovato è stata quella di wikipedia, che mi è sembrata semplice, anzi troppo semplice... Dunque mi è sorto un dubbio: sarà anche corretta?
Poste le solite condizioni di (f funzione continua in un intervallo [a,b] e F primitiva di f in [a,b])
DIMOSTRAZIONE
Da cui si ottiene
Non mi interessa una dimostrazione troppo avanzata o rigorosa, semplicemente mi serve che sia corretta; pertanto vi invito a considerare la questione in quest'ottica.
Grazie anticipatamente.
Poste le solite condizioni di (f funzione continua in un intervallo [a,b] e F primitiva di f in [a,b])
DIMOSTRAZIONE
Da cui si ottiene
Non mi interessa una dimostrazione troppo avanzata o rigorosa, semplicemente mi serve che sia corretta; pertanto vi invito a considerare la questione in quest'ottica.
Grazie anticipatamente.
Risposte
"SoDiNonSapere":
...Non mi interessa una dimostrazione troppo avanzata o rigorosa, semplicemente mi serve che sia corretta...
Beh, posso dirti che una dimostrazione o è rigorosa o non è una dimostrazione.
Se però intendi dire che vorresti un'esposizione euristica, magari di tipo geometrico, che faccia da preludio a una dimostrazione rigorosa, allora puoi dare un'occhiata qui
La dimostrazione di Wikiedia mi sembra corretta, ma non è la stessa che hai riportato... 
@ Sidereus: Effettivamente hai pienamente ragione, mi sono espresso abbastanza male.. quello che intendevo dire è che vorrei solo una valutazione della correttezza o meno di tale dimostrazione, perchè sono consapevole che esistono dimostrazioni ben più complete e complesse... E grazie per il link 
@ cirasa: LA dimostrazione che ho riportato è reperibile a questo indirizzo: http://it.wikipedia.org/wiki/Integrale , per la precisione sotto la voce "Formula fondamentale del calcolo integrale del primo teorema ". Forse dici così perchè hai visto la dimostrazione reperibile presso: http://it.wikipedia.org/wiki/Teorema_fo ... trazione_2 , che in fin dei conti simile, solamente che in più verifica l'infinità delle primitive... O mi sto sbagliando?
quello che intendevo dire è che vorrei solo una valutazione della correttezza o meno di tale dimostrazione, perchè sono consapevole che esistono dimostrazioni ben più complete e complesse... E grazie per il link @ cirasa: LA dimostrazione che ho riportato è reperibile a questo indirizzo: http://it.wikipedia.org/wiki/Integrale , per la precisione sotto la voce "Formula fondamentale del calcolo integrale del primo teorema ". Forse dici così perchè hai visto la dimostrazione reperibile presso: http://it.wikipedia.org/wiki/Teorema_fo ... trazione_2 , che in fin dei conti simile, solamente che in più verifica l'infinità delle primitive... O mi sto sbagliando?
Sì, hai ragione, in effetti avevo guardato il secondo link.
Per quanto riguarda la dimostrazione a cui fai riferimento a me sembra corretta, in quanto se $F$ è una primitiva e $G$ è la funzione integrale di punto base $a$, allora, visto che differiscono per una costante, si ha $F(b)-F(a)=G(b)-G(a)$ poi somma zero e ottiene la tesi.
Mi sfugge qualche dettaglio? Cosa non ti convince?
Per quanto riguarda la dimostrazione a cui fai riferimento a me sembra corretta, in quanto se $F$ è una primitiva e $G$ è la funzione integrale di punto base $a$, allora, visto che differiscono per una costante, si ha $F(b)-F(a)=G(b)-G(a)$ poi somma zero e ottiene la tesi.
Mi sfugge qualche dettaglio? Cosa non ti convince?
Pensandoci meglio, la dimostrazione è semplice perché premette, non dimostrandolo, un altro risultato: il fatto che la funzione integrale di una funzione $f$ è una primitiva di $f$ che è appunto il primo link. Giusto?
Riporto la "seconda dimostrazione" di cui stiamo discutendo con cirasa per facilitare la comprensione agli altri lettori di questo post:
@ cirasa: Sinceramente mi sembra che questa seconda dimostrazione sia simile alla prima(nell'ultimo passaggio) ma in più dimostri solo che possono esistere infinite primitive che variano di una variabile. Quindi secondo te è corretta? La cosa che non mi è chiara è il passaggio dal penultimo all'ultimo passaggio...
Se ti stai riferendo a questa dimostrazione, G(x) non è anchessa una primitiva(come F(x))?
Poniamo
$F(x) := \int_a^x f(t) \, dt$
dal teorema precedente abbiamo che
$F'(x)=f(x)$
e d'altra parte sappiamo che
$f(x)=G'(x)$
per la linearità dell'operazione di derivata concludiamo che
$\frac d {dx} (F(x)-G(x)) = 0$ per ogni x$ \in [a,b]$
dalle proprietà della derivata concludiamo che esiste un c appartente ad R tale che
$\ F(x)-G(x)=c$
ovvero:
$G(b)-G(a)=F(b)-F(a) = \int_a^b f(t)dt - \int_a^a f(t)dt = \int_a^b f(t) dt $.
@ cirasa: Sinceramente mi sembra che questa seconda dimostrazione sia simile alla prima(nell'ultimo passaggio) ma in più dimostri solo che possono esistere infinite primitive che variano di una variabile. Quindi secondo te è corretta? La cosa che non mi è chiara è il passaggio dal penultimo all'ultimo passaggio...
Per quanto riguarda la dimostrazione a cui fai riferimento a me sembra corretta, in quanto se F è una primitiva e G è la funzione integrale di punto base a, allora, visto che differiscono per una costante, si ha F(b)-F(a)=G(b)-G(a) poi somma zero e ottiene la tesi.
Se ti stai riferendo a questa dimostrazione, G(x) non è anchessa una primitiva(come F(x))?
Propongo una dimostrazione alternativa di questa formula basata sul teorema del valor medio di Lagrange, che ricordo:
Sia $F:[a, b]\toRR$ continua e derivabile in $(a, b)$, allora esiste $xi\in(a, b)$ tale che $F(b)-F(a)=F'(xi)(b-a)$.
Prendiamo allora $F, f:[a, b]\toRR$ tali che $f$ sia integrabile e $F'(x)=f(x), \forallx\in[a, b]$. In particolare osserviamo che $F$ verifica le ipotesi del teorema del valore medio.
Essendo $f$ integrabile in $[a, b]$, per ogni $epsilon$ esiste una partizione $P_epsilon={a=x_0
$F(b)-F(a)=[F(x_n)-F(x_{n-1})]+[F(x_{n-1})-F(x_{n-2}]+...+[F_{x_1}-F_{x_0}]$.
Applicando il teorema del valor medio a ognuno dei termini in parentesi quadra, otteniamo
$F(b)-F(a)=sum_{i=1}^nf(x_i)(x_i-x_{i-1})$, dove $x_i\in(x_{i-1}, x_i)$.
Una disuguaglianza ovvia:
$"inf"_{x\in[x_{i-1}, x_i]}f(x)<=f(x_i)<="sup"_{x\in[x_{i-1}, x_i]}f(x)$
da cui, moltiplicando ogni termine per $x_i-x_{i-1}$ e sommando per $i=1...n$, segue che
$L(P_epsilon, f)<=sum_{i=1}^nf(x_i)(x_i-x_{i-1})<=U(P_epsilon, f)$
In sostanza abbiamo ottenuto che $F(b)-F(a)$ è stretto tra le somme inferiori e quelle superiori relative a $P_epsilon$. Ma anche l'integrale $int_a^bf(t)"d"t$ è soggetto allo stesso vincolo, che è stretto, meno di $epsilon$. In simboli:
$(F(b)-F(a)), (int_a^bf(t)"d"t)\ \in[L(P_epsilon, f), U(P_epsilon, f)]$, da cui $|(F(b)-F(a))-(int_a^bf(t)"d"t)|
Una osservazione finale: questa dimostrazione non ha richiesto che $f$ fosse una funzione continua, ma solo una funzione integrabile. A parte questi dettagli tecnici, la formula fondamentale del calcolo integrale e il teorema del valor medio sono la stessa cosa, nel senso che da una si può ricavare l'altro e viceversa.
Sia $F:[a, b]\toRR$ continua e derivabile in $(a, b)$, allora esiste $xi\in(a, b)$ tale che $F(b)-F(a)=F'(xi)(b-a)$.
Prendiamo allora $F, f:[a, b]\toRR$ tali che $f$ sia integrabile e $F'(x)=f(x), \forallx\in[a, b]$. In particolare osserviamo che $F$ verifica le ipotesi del teorema del valore medio.
Essendo $f$ integrabile in $[a, b]$, per ogni $epsilon$ esiste una partizione $P_epsilon={a=x_0
$F(b)-F(a)=[F(x_n)-F(x_{n-1})]+[F(x_{n-1})-F(x_{n-2}]+...+[F_{x_1}-F_{x_0}]$.
Applicando il teorema del valor medio a ognuno dei termini in parentesi quadra, otteniamo
$F(b)-F(a)=sum_{i=1}^nf(x_i)(x_i-x_{i-1})$, dove $x_i\in(x_{i-1}, x_i)$.
Una disuguaglianza ovvia:
$"inf"_{x\in[x_{i-1}, x_i]}f(x)<=f(x_i)<="sup"_{x\in[x_{i-1}, x_i]}f(x)$
da cui, moltiplicando ogni termine per $x_i-x_{i-1}$ e sommando per $i=1...n$, segue che
$L(P_epsilon, f)<=sum_{i=1}^nf(x_i)(x_i-x_{i-1})<=U(P_epsilon, f)$
In sostanza abbiamo ottenuto che $F(b)-F(a)$ è stretto tra le somme inferiori e quelle superiori relative a $P_epsilon$. Ma anche l'integrale $int_a^bf(t)"d"t$ è soggetto allo stesso vincolo, che è stretto, meno di $epsilon$. In simboli:
$(F(b)-F(a)), (int_a^bf(t)"d"t)\ \in[L(P_epsilon, f), U(P_epsilon, f)]$, da cui $|(F(b)-F(a))-(int_a^bf(t)"d"t)|
Una osservazione finale: questa dimostrazione non ha richiesto che $f$ fosse una funzione continua, ma solo una funzione integrabile. A parte questi dettagli tecnici, la formula fondamentale del calcolo integrale e il teorema del valor medio sono la stessa cosa, nel senso che da una si può ricavare l'altro e viceversa.
Grazie della risposta dissonance.Mi dispiace davvero dover rendere vano il tuo impegno e il tempo speso nello scrivere questa dimostrazione, ma purtroppo la legge del valor medio di langrange mi è estranea(come molti altri teoremi relativi agli integrali purtroppo), per questa motivazione cercavo una dimostrazione intuitiva e semplice come quella di wikipedia. A dire la verità non ci è stato dimostrato alcun teorema degli integrali a lezionei, ma ci hanno fatto soffermare sulla parte pratica(stando a quanto ho sentito in giro, questa è una "peculiarità" dei cdl in ingegneria), quindi volevo capire questo teorema fondamentale più per curiosità personale che per altro... Posso chiederti un giudizio sulla dimostrazione wikipediana che ho illustrato sopra?
"SoDiNonSapere":Possibile? Sei sicuro di non aver mai visto un disegnino come questo:
la legge del valor medio di langrange mi è estranea
A parte questo, lascia pure perdere la dimostrazione che scrivevo sopra che è effettivamente più complicata del necessario. E' una difficoltà solo apparente, l'idea di fondo è piuttosto semplice; inoltre io trovo che quella dimostrazione sia più illuminante. e apre interessanti spunti di riflessione sulla relazione profonda derivata-integrale. Magari riveditela più in là, quando avrai masticato un po' di tecnica.
Posso chiederti un giudizio sulla dimostrazione wikipediana che ho illustrato sopra?Mah, veramente non la capisco tanto. Ti consiglierei di lasciare perdere wikipedia per non confonderti e leggere bene il post di cirasa che è corretto. Per una idea intuitiva della dimostrazione segui il link di Sidereus.
"dissonance":Possibile? Sei sicuro di non aver mai visto un disegnino come questo:
[quote="SoDiNonSapere"]la legge del valor medio di langrange mi è estranea
A parte questo, lascia pure perdere la dimostrazione che scrivevo sopra che è effettivamente più complicata del necessario. E' una difficoltà solo apparente, l'idea di fondo è piuttosto semplice; inoltre io trovo che quella dimostrazione sia più illuminante. e apre interessanti spunti di riflessione sulla relazione profonda derivata-integrale. Magari riveditela più in là, quando avrai masticato un po' di tecnica.
Posso chiederti un giudizio sulla dimostrazione wikipediana che ho illustrato sopra?Mah, veramente non la capisco tanto. Ti consiglierei di lasciare perdere wikipedia per non confonderti e leggere bene il post di cirasa che è corretto. Per una idea intuitiva della dimostrazione segui il link di Sidereus.[/quote]
Si, il disegnino l'ho visto, ma il teorema ci è stato appena accennato e non dimostrato.... Cmq ti ringrazio per l'aiuto e l'impegno. In conclusione seguirò ciò che ha detto cirasa(che risulta molto basilare ma altresi molto comprensibile) e cercherò di approfondire seguendo i link... Un'ultima cosa: il fatto che la continuità è condizione sufficiente per l'integrabilità di una funzione viene fuori dal teorema fondamentale degli integrali? Mi riferisco al I° teorema, quello che lega il concetto di primitiva con quello di derivata...
P.S. Scusate il ritardo nel rispondere...
"SoDiNonSapere":Non capisco quale sia questo primo teorema... Il concetto di primitiva e quello di derivata sono collegati dalla definizione: $F$ è una primitiva di $f$ se e solo se $f$ è la derivata di $F$. Fine.
Un'ultima cosa: il fatto che la continuità è condizione sufficiente per l'integrabilità di una funzione viene fuori dal teorema fondamentale degli integrali? Mi riferisco al I° teorema, quello che lega il concetto di primitiva con quello di derivata...
Forse ti riferisci al teorema che collega le funzioni integrali alle primitive?
In ogni caso la risposta è no. Il fatto che le funzioni continue siano integrabili è logicamente precedente a questi teoremi. Se vuoi affrontare una trattazione degli integrali, per prima cosa ti devi procurare un teorema che ti dica quali funzioni sono integrabili, o almeno ti rassicuri che una certa classe di funzioni lo è. Altrimenti rischieresti di parlare solo di aria fritta.
Dal punto di vista tecnico, il fatto che le funzioni continue siano integrabili discende dal teorema di Cantor: le funzioni continue su intervalli compatti sono uniformemente continue.
Forse ti riferisci al teorema che collega le funzioni integrali alle primitive?
Si, intendevo quello, scusa il lapsus... Lo chiamo il primo teorema perchè su wikipedia il teorema fondamentale del calcolo integrale viene diviso in due teoremi, il primo dei quali stabilisce appunto questa relazione, il secondo collega gli integrali definiti e indefiniti.
Ho fatto questa domanda perchè, sempre su wikipedia, affrontando il teorema fondamentale dice: "Quindi il teorema fondamentale del calcolo integrale garantisce l'esistenza di una primitiva. " per una funzione continua... Qui c'è la parte in questione: http://it.wikipedia.org/wiki/Integrale# ... _integrale
Devi stare attento a non confondere l'integrabilità di una funzione con l'esistenza di una primitiva della stessa. Sono due cose profondamente diverse a livello di concetto. Anzi, l'idea geniale dei matematici del Sei-Settecento fu proprio trovare un nesso tra queste due cose così apparentemente lontane (ma qui mi fermo perché non sono un esperto di storia).
Il fatto che una funzione sia integrabile non significa che abbia una primitiva. La funzione $f(x)={(1, x>=0), (-1, x<0):}$ è integrabile su $[-1, 1]$ e $int_{-1}^1f(x)"d"x=0$, ma ti sfido a trovarne una primitiva (non vale rispondere $|x|$! Infatti questa funzione non è derivabile nell'origine e quindi non è una vera primitiva). Se ti occupi di ingegneria puoi tranquillamente pensare (in cuor tuo) che "tutte" le funzioni sono integrabili.
Il teorema a cui ti riferisci funziona, logicamente, così:
1)Tutte le funzioni continue sono integrabili, e questo a rigore discende dal teorema di Cantor;
2)E' quindi consistente costruire la funzione integrale di una funzione continua. Risulterà che questa è derivabile e la derivata coincide con la funzione integranda.
P.S.: Consiglierei di lasciar perdere wikipedia. E' un ottimo strumento per la consultazione ma un pessimo strumento per lo studio in prima battuta. Piuttosto procurati un buon manuale e leggiti quello.
E inoltre: tutto quanto detto in questo post si riferisce agli integrali definiti. Per quanto mi riguarda il simbolo di integrale indefinito non dovrebbe esistere proprio, perché fonte di grande confusione.
Il fatto che una funzione sia integrabile non significa che abbia una primitiva. La funzione $f(x)={(1, x>=0), (-1, x<0):}$ è integrabile su $[-1, 1]$ e $int_{-1}^1f(x)"d"x=0$, ma ti sfido a trovarne una primitiva (non vale rispondere $|x|$! Infatti questa funzione non è derivabile nell'origine e quindi non è una vera primitiva). Se ti occupi di ingegneria puoi tranquillamente pensare (in cuor tuo) che "tutte" le funzioni sono integrabili.
Il teorema a cui ti riferisci funziona, logicamente, così:
1)Tutte le funzioni continue sono integrabili, e questo a rigore discende dal teorema di Cantor;
2)E' quindi consistente costruire la funzione integrale di una funzione continua. Risulterà che questa è derivabile e la derivata coincide con la funzione integranda.
P.S.: Consiglierei di lasciar perdere wikipedia. E' un ottimo strumento per la consultazione ma un pessimo strumento per lo studio in prima battuta. Piuttosto procurati un buon manuale e leggiti quello.
E inoltre: tutto quanto detto in questo post si riferisce agli integrali definiti. Per quanto mi riguarda il simbolo di integrale indefinito non dovrebbe esistere proprio, perché fonte di grande confusione.
Benissimo, adesso ho le idee molto più chiare. Grazie mille per la chiarezza e la disponibilità.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo