Dimostrazione Formula di Taylor con resto di Lagrange

[Trivroach]

Salve. Non riesco a comprendere un passaggio iniziale della dimostrazione della Formula di Taylor con resto di Lagrange. Ve la riporto dall'inizio.

Teorema: Se $ f $ è derivabile $ n+1 $ volte in $ [a,b] $ con derivata $ f^(n+1) $ continua allora per ogni $ x in [a,b] $ esiste un numero $ x_1 $ compreso tra $ x_0 $ e $ x $ tale che:

$ R_n(x)=f^(n+1)(x_1)/((n+1)!)*(x-x_0)^(n+1) $

Dimostrazione: Supponiamo $ x>x_0 $ . Poichè $ f^(n+1)(t) $ è continua, per il teorema di Weierstrass ammette minimo $ m $ e massimo $ M $ nell'intervallo $ [x_o,x] $ . (Ed ecco qui il passaggio di cui parlo:) Dalle disuguaglianze $ m<=f^(n+1)(t)<=M $ per ogni $ tin [x_0,x] $ e dall'espressione integrale $ R_n(x)=int_(x_0)^(x) ((x-t)^n)/(n!)*f^(n+1)(t) dt $ si deduce che:

$ m int_(x_0)^(x) ((x-t)^n)/(n!) dt <=R_n(x)<= M int_(x_0)^(x) ((x-t)^n)/(n!) dt $

Il resto della dimostrazione è piuttosto semplice e l'ho capita senza problemi. Non mi è chiaro esattamente come faccia ad affermare l'ultima disuguaglianza che ho scritto.

Grazie mille per l'aiuto.

[billyballo2123]

Dato che $m\leq f^{n+1}(t)\leq M$, moltiplicando tutto per $(x-t)^n/{n!}$ (che è positivo per $t\in (x_0,x)$), otteniamo
\[
m\frac{(x-t)^n}{n!} \leq f^{n+1}(t)\frac{(x-t)^n}{n!}\leq M \frac{(x-t)^n}{n!}
\]
dunque le disuguaglianze rimangono anche quanto integriamo:
\[
m\int_{x_0}^x \frac{(x-t)^n}{n!} dt\leq \int_{x_0}^x \frac{(x-t)^n}{n!}f^{n+1}(t) dt\leq M \int_{x_0}^x \frac{(x-t)^n}{n!} dt.
\]
Ponendo $R_n(x)=\int_{x_0}^x \frac{(x-t)^n}{n!}f^{n+1}(t) dt$, si arriva alla disuguaglianza di cui chiedevi spiegazione.

[Trivroach]

Grazie, era molto più semplice di quello che pensavo.