Dimostrazione Formula di Stokes
Sto cercando da qualche parte una dimostrazione non troppo complicata (=comprensibile) del Teorema di Stokes... Chiedo a voi se qualcuno conosce delle dispense o del materiale online da consigliarmi. So che ci sono delle varianti e si può enunciare in diversi modi; quello che dovrei dimostrare io, è fondamentalmente questo (metto l'introduzione prima della formula):
"Sia $ Sigma:(u,v)inA->(x(u,v),y(u,v),z(u,v))inR^3 $ una superficie regolare, con $ SigmainC^2(A) $ . Sia $ gamma(t)={ ( u=u(t) ),( v=v(t) ):} $ una curva che parametrizza $ partial A $ (ovvero il sostegno di $ A $ ) con $ a<=t<=b $ .
Sia poi:
$ Gamma :{ ( x=x(u(t),v(t)) ),( y=y(u(t),v(t)) ),( z=z(u(t),v(t)) ):} $
la parametrizzazione del bordo di $ Sigma $. Sia $ vec(v)=(X(x,y,z),Y(x,y,z),Z(x,y,z)) $ un vettore appartenente al campo vettoriale $ vec(V) (x,y,z) $ e $ omega=Xdx+Ydy+Zdz $ la forma differenziale associata. Se $ winC'(Sigma) $ allora si ha la Formula di Stokes:
$ int_(Sigma)rotvec(V) *vec(mu) =int_(Gamma)Xdx+Ydy+Zdz $
dove $ vec(mu) $ è il versore normale alla superficie $ Sigma $ ."
Grazie mille.
"Sia $ Sigma:(u,v)inA->(x(u,v),y(u,v),z(u,v))inR^3 $ una superficie regolare, con $ SigmainC^2(A) $ . Sia $ gamma(t)={ ( u=u(t) ),( v=v(t) ):} $ una curva che parametrizza $ partial A $ (ovvero il sostegno di $ A $ ) con $ a<=t<=b $ .
Sia poi:
$ Gamma :{ ( x=x(u(t),v(t)) ),( y=y(u(t),v(t)) ),( z=z(u(t),v(t)) ):} $
la parametrizzazione del bordo di $ Sigma $. Sia $ vec(v)=(X(x,y,z),Y(x,y,z),Z(x,y,z)) $ un vettore appartenente al campo vettoriale $ vec(V) (x,y,z) $ e $ omega=Xdx+Ydy+Zdz $ la forma differenziale associata. Se $ winC'(Sigma) $ allora si ha la Formula di Stokes:
$ int_(Sigma)rotvec(V) *vec(mu) =int_(Gamma)Xdx+Ydy+Zdz $
dove $ vec(mu) $ è il versore normale alla superficie $ Sigma $ ."
Grazie mille.
Risposte
Io so che in fondo tutte queste formule (teorema della divergenza, di Stokes, di Gauss-Green, etc etc...) non sono niente di difficile da dimostrare, perché si tratta gira e volta di riformulazioni più o meno eleganti della stessa cosa. Se assumi questa formula (di integrazione per parti, come si usa dire in analisi - riciclo le tue notazioni):
\[
\int_{\Sigma} \frac{\partial f}{\partial x_i}\, dx_1\ldots dx_n = \int_\Gamma f n_i\, dS, \]
dove \(n_i=\boldsymbol n \cdot \boldsymbol e_i\) è l'$i$-esima componente del versore normale uscente, da qui dovrebbe essere semplice ricavare Stokes semplicemente scrivendo il rotore in coordinate cartesiane.
Quanto al riferimento, la mia trattazione preferita è quella di Klainerman:
https://web.math.princeton.edu/~seri/ho ... is2011.pdf
(pagina 74 - cerca "Stokes"). Però lui usa un punto di vista un po' avanzato, quello delle distribuzioni di Schwartz.
\[
\int_{\Sigma} \frac{\partial f}{\partial x_i}\, dx_1\ldots dx_n = \int_\Gamma f n_i\, dS, \]
dove \(n_i=\boldsymbol n \cdot \boldsymbol e_i\) è l'$i$-esima componente del versore normale uscente, da qui dovrebbe essere semplice ricavare Stokes semplicemente scrivendo il rotore in coordinate cartesiane.
Quanto al riferimento, la mia trattazione preferita è quella di Klainerman:
https://web.math.princeton.edu/~seri/ho ... is2011.pdf
(pagina 74 - cerca "Stokes"). Però lui usa un punto di vista un po' avanzato, quello delle distribuzioni di Schwartz.
Ciao, ti ringrazio per il tuo link. Ho provato a vedere ciò che mi indicavi ma ahimè da studente del primo anno di Ingegneria non credo di avere le capacità e gli strumenti per poterlo capire bene. 
Provo a smanettare meglio sui miei appunti, c'è poco da fare.
Provo a smanettare meglio sui miei appunti, c'è poco da fare.
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