Dimostrazione formula curvatura

[zannas]

Salve gente, non riesco a trovare in internet la dimostrazione della formula per trovare la curvatura di una curva in R^2 [tex]k = \left| \frac{\dot{x} \ddot{y} - \dot{y} \ddot{x}}{({\dot{x}^2 + \dot{y}^2)}^{3/2}} \right|[/tex]e per un funzione generica f(x) .[tex]k = \frac {\frac{d^2 y} {dx^2}} {(1 + ( \frac{dy}{dx} )^2 ) ^ {3/2}}[/tex] qualcuno riesce ad aiutarmi o a passarmi qualche bèl pdf?

[zannas]

nessuno?
io avevo provato una cosa del genere per $\vec F={(x=t),(y=f(x(t))=f(t)):}$
$ds=sqrt(1+f'^2) dt$ (usata per $dx/(ds)=dx/(dt)*dt/(ds)$ ecc..
vettore tangente: $\vec T={(1/sqrt(1+f'^2)),(f'/(sqrt(1+f'^2))):}$
vettore normale: $\vec N = \vec T' ={(-(f'')/(2*(f'+1)^2)),((f''*(f'+2))/(2*(f'+1)^2)):}$
quindi in teoria la curvatura dovrebbe essere: $||\vec N||=(f'*sqrt(1+(f'+2)^2))/(2*(f'+1)^2)$ che è sbagliata rispetto alla formula corretta....
quali sono i miei errori?
Nota: $df/(dt)=f'$ e $d^2f/(dt^2)=f''$

[gugo82]

Conosci già la formula per la curvatura di curve in [tex]\mathbb{R}^3[/tex]?

[Alexp1]

Ciao,
si dimostra tutto con la costruzione del cerchio osculatore, ma andiamo per gradi....

Sia $\{(x=f(u)), (y=g(u)):}$ una generica curva e $P(x_0,y_0)$ un suo punto corrispondente a $(u=u_0)$, nel quale vogliamo calcolare la curvatura.
A questo punto consideriamo la generica circonferenza di centro $C(a,b)$ e raggio $R$ che ha equazione $(x-a)^2+(y-b)^2=R^2$

Questa circonferenza per essere osculatrice deve avere un contatto almeno del secondo ordine con la curva nel punto $P$; le condizioni di questo contatto si ottengono considerando la funzione:
$F(u)=(f(u)-a)^2+(g(u)-b)^2-R^2$
ed esse sono:
$F(u_0)=0; F'(u_0)=0; F''(u_0)=0$

ossia

$\{((x_0-a)^2+(y_0-b)^2-R^2=0),((x_0-a)f'(u_0)+(y_0-b)g'(u_0)=0), ((x_0-a)f''(u_0)+(y_0-b)g''(u_0)+(f')^2(u_0)+(g')^2(u_0)=0):}$

Risolvendo questo sistema si ottiene:

$a=x_0-(((f')^2+(g')^2)/(f'g''-f''g'))g'$
$b=y_0+(((f')^2+(g')^2)/(f'g''-f''g'))f'$
$R=((f')^2+(g')^2)^(3/2)/|f'g''-f''g'|$

Mentre se l'equazione della curva è in forma scalare $y=f(x)$, si ottiene:

$a=x_0-(1+(f')^2)/(f'')f'$
$b=y_0+(1+(f')^2)/(f'')$
$R=(1+(f')^2)^(3/2)/|f''|$

ovviamente come saprai la curvatura equivale all'inverso del raggio del cerchio osculatore, cioè $1/R$.

Spero di aver colmato il tuo dubbio!

[zannas]

"Alexp":Ciao,
si dimostra tutto con la costruzione del cerchio osculatore, ma andiamo per gradi....

Sia $\{(x=f(u)), (y=g(u)):}$ una generica curva e $P(x_0,y_0)$ un suo punto corrispondente a $(u=u_0)$, nel quale vogliamo calcolare la curvatura.
A questo punto consideriamo la generica circonferenza di centro $C(a,b)$ e raggio $R$ che ha equazione $(x-a)^2+(y-b)^2=R^2$

Questa circonferenza per essere osculatrice deve avere un contatto almeno del secondo ordine con la curva nel punto $P$; le condizioni di questo contatto si ottengono considerando la funzione:
$F(u)=(f(u)-a)^2+(g(u)-b)^2-R^2$
ed esse sono:
$F(u_0)=0; F'(u_0)=0; F''(u_0)=0$

ossia

$\{((x_0-a)^2+(y_0-b)^2-R^2=0),((x_0-a)f'(u_0)+(y_0-b)g'(u_0)=0), ((x_0-a)f''(u_0)+(y_0-b)g''(u_0)+(f')^2(u_0)+(g')^2(u_0)=0):}$

Risolvendo questo sistema si ottiene:

$a=x_0-(((f')^2+(g')^2)/(f'g''-f''g'))g'$
$b=y_0+(((f')^2+(g')^2)/(f'g''-f''g'))f'$
$R=((f')^2+(g')^2)^(3/2)/|f'g''-f''g'|$

Mentre se l'equazione della curva è in forma scalare $y=f(x)$, si ottiene:

$a=x_0-(1+(f')^2)/(f'')f'$
$b=y_0+(1+(f')^2)/(f'')$
$R=(1+(f')^2)^(3/2)/|f''|$

ovviamente come saprai la curvatura equivale all'inverso del raggio del cerchio osculatore, cioè $1/R$.

Spero di aver colmato il tuo dubbio!

Grazie 1000, ho capito il ragionamento!
Non è che per caso saresti in grado di dirmi allora dove stà l'inghippo matematico o concettuale in quello sviluppato da me?
Ti ringrazio

[Alexp1]

Beh, seguendo le formule di Frenet, la curvatura $k(s)$ è data da $||T'(s)||$ e non da $||N(s)||$, infatti si ha:

$T'(s)=N(s)k(s)$ quindi $||T'(s)||=sqrt(N(s)*N(s)*k(s)*k(s))$ essendo che $N$ è un versore si ha $N(s)*N(s)=1$ quindi $||T'(s)||=sqrt(k^2(s))=k(s)$

Ciao

[zannas]

"Alexp":Beh, seguendo le formule di Frenet, la curvatura $k(s)$ è data da $||T'(s)||$ e non da $||N(s)||$, infatti si ha:

$T'(s)=N(s)k(s)$ quindi $||T'(s)||=sqrt(N(s)*N(s)*k(s)*k(s))$ essendo che $N$ è un versore si ha $N(s)*N(s)=1$ quindi $||T'(s)||=sqrt(k^2(s))=k(s)$

Ciao

si, son d'accordo, il mio $\vec N$ è semplicemente $\vec T'$..però come vedi purtroppo non mi risulta che $|\vec T'|=1/k(s)$

[Alexp1]

Allora partiamo dall'inizio e procediamo passo-passo...

$T(s)=(1/sqrt(1+f'^2), f'/sqrt(1+f'^2))$

ora calcoliamo $T'(s)=T'(t)*(dt)/(ds)$

$T'(t)=((-f'f'')/(1+f'^2)^(3/2), (f'')/sqrt(1+f'^2)-(f'^2f'')/(1+f'^2)^(3/2))$

essendo $(dt)/(ds)=1/sqrt(1+f'^2)$ avremo

$T'(s)=T'(t)*1/sqrt(1+f'^2)=((-f'f'')/(1+f'^2)^(3/2), (f'')/sqrt(1+f'^2)-(f'^2f'')/(1+f'^2)^(3/2))*1/sqrt(1+f'^2)$

che come risultato ci da:

$T'(s)=((-f'f'')/(1+f'^2)^2, (f'')/sqrt(1+f'^2)-(f'^2f'')/(1+f'^2)^2)$

calcolando il m.c.m. nella seconda componente e raccogliendo abbiamo:

$T'(s)=((-f'f'')/(1+f'^2)^2, (f'')/(1+f'^2)^2)$

Adesso ci rimane da calcolare il modulo...

$||T'(s)||=sqrt(f''^2+f'^2*f''^2)/(1+f'^2)^2=(f''*sqrt(1+f'^2))/(1+f'^2)^2$

che semplificando ci rende

$||T'(s)||=(f'')/(1+f'^2)^(3/2)=k(s)$ che è il risultato cercato!

Ti è tutto chiaro?

[zannas]

Si grazie 1000! Il mio ragionamento era corretto! Ho sbagliato inspiegabilmente a derivare! Scusami

[Alexp1]

"zannas":
[...] Ho sbagliato inspiegabilmente a derivare! Scusami

E di cosa scusarsi?? sono cose che possono capitare!

[francesco19842]

Buongiorno a tutti,
Vorrei chiedere alcuni chiarimenti sul procedimento eseguito per calcolare la curvatura della funzione scritta in forma parametrica.
Cosa significa esattamente la funzione F(u) e cosa significano le condizioni da imporre su di essa ( in particolare derivata prima e seconda nulle)?
Grazie di una eventuale risposta.
Arrivederci,
Francesco

[erikh94]

Ciao a tutti! Ho letto questo interessantissimo topic, tutto molto chiaro, solo una domanda (peraltro probabilmente parecchio stupida): imporre F(u0)=0 equivale a imporre il passaggio per P.
Cosa significa invece imporre F'(u0)=0 e F''(u0)=0?
Grazie mille!

[ing.nunziom]

"Alexp":
Questa circonferenza per essere osculatrice deve avere un contatto almeno del secondo ordine con la curva nel punto $P$; le condizioni di questo contatto si ottengono considerando la funzione:
$F(u)=(f(u)-a)^2+(g(u)-b)^2-R^2$
ed esse sono:
$F(u_0)=0; F'(u_0)=0; F''(u_0)=0$

Perchè?

[fhabbio]

Bel thread riesumato dall'oblio.
Interessante dimostrazione ed "interessante" inteso come "dimostrazione che ci interessa".

Ricordando che $u_0$ è un punto della funzione in cui vogliamo trovare il cerchio osculatore
$F(u_0)=0$ significa che il punto $u_0$ deve appartenere al cerchio
$F'(u_0)=0$ significa che la derivata prima in $u_0$ coincide con la derivata prima della funzione (in quel punto) e quindi in quel punto hanno la stessa tangente
$F''(u_0)=0$ significa che la derivata seconda in $u_0$ coincide con la derivata seconda della funzione (in quel punto) e quindi stessa concavità

Queste sono le condizioni più forti per approssimare una funzione nell'intorno di un punto.

Hai fatto bene a bumpare questo thread!

[ing.nunziom]

"fhabbio":Hai fatto bene a bumpare questo thread!

Sarà utile a molti!