Dimostrazione estremo superiore

[Esposito.sofia1]

Dimostrare che sup $ {x in QQ : x>0 , x^2<2} = sqrt(2) $ Qualcuno puo' darmi una mano

Io ho scritto : supponiamo che l'insieme non sia limitato significa che esiste una successione che e' divergente a piu infinito . QUesta successione e' fatta da numeri razionali . Per avere una successione di numeri razionali che diverge a piu infinito vuol dire che il numeratore diverge a piu infinito . il che vuol dire che per n suffcientemente grande l'elemento ennesimo della successione e' maggiore di qualsiasi costante che fisso .
Come posso procedere ? Vi sarei tanto grata !! A presto !

[Seneca1]

Preso $x > 2$ razionale, hai che $x^2 > 4$ e dunque $2$ è un maggiorante di quell'insieme.

[theras]

La densità di $QQ$ in $RR$ porta in eredità una proposizione(almeno è tale nell'impostazione assiomatica di Dedekind..),
il cui enunciato è "Tra due arbitrari numeri reali distinti,ne esiste sempre almeno uno(e dunque infiniti..)razionale";
vedi se può esserti utile per dimostrare quel limite in modo classico,
ovvero previo la verifica delle seguenti proprietà
(note come caratterizzazione del sup per il generico insieme numerico non vuoto $X$,
che evidentemente è implicitamente il caso da te esaminato perchè,se il tuo "insieme ambiente" fosse $QQ$,
quell'insieme di razionali non sarebbe nemmeno dotato di estremo superiore nonostante la limitatezza evidenziata da Seneca..):
1)$x<=sqrt(2)$ $AA x in X$
2)$AA epsilon>0$ $EEx_(epsilon) in X" t.c. "x_(epsilon)>sqrt(2)-epsilon$
Saluti dal web.