Dimostrazione equazione diff. a variabili separabili
Ciao!
"Data l'Equaz.Diff.
$y'= a(x)h(y)$
Con $a$ continua e $h$ di classe $C^1$, è noto che le soluzioni non costanti dell'equazione sono siffatte:
Dove $H(y(x))$ è una funzione primitiva di $(y'(x))/(h(y(x)))$
Dimostrare che la funzione $y(x)=H^(-1) (A(x)+c)$ è soluzione."
Per farlo dovrei derivare, ma in questo caso come faccio a derivare essendo presente l'inversa $H^-1$? Sono un po' confusa. Dovrei usare il teorema di derivazione di una funzione inversa, ma non capisco come fare, non conoscendo $H$.
Io so che sotto opportune ipotesi
$(H^(-1))'(y)=1/(H'(x)$
ma non so come applicarlo in questo caso.
"Data l'Equaz.Diff.
$y'= a(x)h(y)$
Con $a$ continua e $h$ di classe $C^1$, è noto che le soluzioni non costanti dell'equazione sono siffatte:
$y(x)=H^(-1) (A(x)+c)$
Dove $H(y(x))$ è una funzione primitiva di $(y'(x))/(h(y(x)))$
Dimostrare che la funzione $y(x)=H^(-1) (A(x)+c)$ è soluzione."
Per farlo dovrei derivare, ma in questo caso come faccio a derivare essendo presente l'inversa $H^-1$? Sono un po' confusa. Dovrei usare il teorema di derivazione di una funzione inversa, ma non capisco come fare, non conoscendo $H$.
Io so che sotto opportune ipotesi
$(H^(-1))'(y)=1/(H'(x)$
ma non so come applicarlo in questo caso.
Risposte
\(H\) è la primitiva di una funzione, quindi conosci la sua derivata.
"vict85":
\(H\) è la primitiva di una funzione, quindi conosci la sua derivata.
Sì ma in questo caso applico $H$ ad $(A(x)+c)$
Ciao anonymous_be0efb,
Veramente è $H^{- 1} $...
Comunque siano $I \subseteq \RR $ e $J \subseteq \RR $ due intervalli e $a : I \to \RR $ e $h : J \to \RR $ due funzioni di classe $C^1 $
Sia ora $J′$ un sottointervallo di $J $ tale che $h(y) \ne 0 $ per ogni $y\in J′$. Allora, dividendo ambo i membri per $h(y)$, $\AA y \in J′$ si ha:
$1/(h(y)) y′ = a(x)$
Poiché $ h $ è continua su $J′$, anche $1/h $ è continua su $J′$, quindi ammette primitiva su $J′$. Sia $H $ una primitiva di $1/h $ su $J′$. Allora $H$ è derivabile su $J′$ e $\AA y \in J′$ si ha:
$H′(y) = 1/(h(y)) $
Sia $I′$ un sottointervallo di $I$ tale che $\AA x \in I'$ si abbia $y=y(x) \in J′$. Poiché $y$ è derivabile su $I′$, allora $H\circ y: I′ to \RR $ è derivabile su $I′$, in quanto composizione di funzioni derivabili, e si ha:
$(H \circ y)′(x) = H′(y(x))y′(x) = 1/(h(y)) y′ = a(x)$
cioè $H \circ y $ è una primitiva di $a$ su $I′$. Denominata con $A$ una primitiva di $a$ su $I′$ si ha quindi che esiste $c \in \RR $ tale che $\AA x \in I′ $ si ha:
$H(y(x)) = A(x) + c $
Essendo $J′$ un intervallo e $H′=1/h $ continua su $J′$, allora $H′$ non cambia segno su $J′$: infatti, se lo facesse, per il Teorema degli zeri, si annullerebbe in qualche punto di $J′$. Ne consegue che $H $ è sempre positiva o sempre negativa su $J′$. In ogni caso $H $ è strettamente monotona su $J′$, quindi invertibile su $J′$ e pertanto $\AA x \in I′$ si ha:
$ y(x) = H^{-1}(A(x) + c)$
In definitiva l’integrale generale dell’equazione differenziale $ y′= a(x)h(y)$ è dato da tutte le soluzioni costanti che annullano $h$ sull'intervallo $J$ e da tutte le funzioni della forma
$ y(x) = H^{-1}(A(x) + c)$
dove $H$ è una primitiva di $1/h $ su un sottointervallo $J′$ di $J$, $A$ è una primitiva di $a$ su un sottointervallo $I′$ di $I $ tale che $\AA x \in I′ $ si ha $y(x)\in J′$, $c \in \RR$
"anonymous_be0efb":
Sì ma in questo caso applico $H $ ad $(A(x)+c)$
Veramente è $H^{- 1} $...
Comunque siano $I \subseteq \RR $ e $J \subseteq \RR $ due intervalli e $a : I \to \RR $ e $h : J \to \RR $ due funzioni di classe $C^1 $
Sia ora $J′$ un sottointervallo di $J $ tale che $h(y) \ne 0 $ per ogni $y\in J′$. Allora, dividendo ambo i membri per $h(y)$, $\AA y \in J′$ si ha:
$1/(h(y)) y′ = a(x)$
Poiché $ h $ è continua su $J′$, anche $1/h $ è continua su $J′$, quindi ammette primitiva su $J′$. Sia $H $ una primitiva di $1/h $ su $J′$. Allora $H$ è derivabile su $J′$ e $\AA y \in J′$ si ha:
$H′(y) = 1/(h(y)) $
Sia $I′$ un sottointervallo di $I$ tale che $\AA x \in I'$ si abbia $y=y(x) \in J′$. Poiché $y$ è derivabile su $I′$, allora $H\circ y: I′ to \RR $ è derivabile su $I′$, in quanto composizione di funzioni derivabili, e si ha:
$(H \circ y)′(x) = H′(y(x))y′(x) = 1/(h(y)) y′ = a(x)$
cioè $H \circ y $ è una primitiva di $a$ su $I′$. Denominata con $A$ una primitiva di $a$ su $I′$ si ha quindi che esiste $c \in \RR $ tale che $\AA x \in I′ $ si ha:
$H(y(x)) = A(x) + c $
Essendo $J′$ un intervallo e $H′=1/h $ continua su $J′$, allora $H′$ non cambia segno su $J′$: infatti, se lo facesse, per il Teorema degli zeri, si annullerebbe in qualche punto di $J′$. Ne consegue che $H $ è sempre positiva o sempre negativa su $J′$. In ogni caso $H $ è strettamente monotona su $J′$, quindi invertibile su $J′$ e pertanto $\AA x \in I′$ si ha:
$ y(x) = H^{-1}(A(x) + c)$
In definitiva l’integrale generale dell’equazione differenziale $ y′= a(x)h(y)$ è dato da tutte le soluzioni costanti che annullano $h$ sull'intervallo $J$ e da tutte le funzioni della forma
$ y(x) = H^{-1}(A(x) + c)$
dove $H$ è una primitiva di $1/h $ su un sottointervallo $J′$ di $J$, $A$ è una primitiva di $a$ su un sottointervallo $I′$ di $I $ tale che $\AA x \in I′ $ si ha $y(x)\in J′$, $c \in \RR$
"pilloeffe":
Ciao anonymous_be0efb,
Gentilissimo, grazie!!!
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