Dimostrazione equazione con funz. iperboliche
Ciao a tutti,
ho un problema con il seguente esercizio:
Detta $f(x)$ la funzione $x^2 senh x$, dimostrare che per ogni $n$ intero non negativo vale la formula:
$f^{2n} (x)=(x^2+ 2n(2n-1))senh x + 4nx cosh x$
Il testo riporta come suggerimento: $4n^2 + 6n+2=2(n+1)(2n+1)$
\\\\\
Per prima cosa io ho calcolato $f^{2n}= x^{4n} (senh x)^{2n}$
poi $f^{2n} (x)=x^2 senh x + 4nx cosh x + (4n^2-2n) senh x$
Identità fondamentale : $( Ch x)^2-( Sh x)^2=1$
Ho pensato di dividere tutto per $Shx$, trasformare le funzioni iperboliche con $e^x$, .... mi è venuto che $Ch x / ( Sh x)=-1$ (è corretto?)
Quindi:
$ x^{4n} ( senh x)^{2n-1}=x^2-4nx+ 4n^2-2n=x(x-2n) +2n(-x+2n-1)$
Poi non so che altro inventarmi.... e non sono neanche sicuro che i passaggi fatti siano corretti...
ho un problema con il seguente esercizio:
Detta $f(x)$ la funzione $x^2 senh x$, dimostrare che per ogni $n$ intero non negativo vale la formula:
$f^{2n} (x)=(x^2+ 2n(2n-1))senh x + 4nx cosh x$
Il testo riporta come suggerimento: $4n^2 + 6n+2=2(n+1)(2n+1)$
\\\\\
Per prima cosa io ho calcolato $f^{2n}= x^{4n} (senh x)^{2n}$
poi $f^{2n} (x)=x^2 senh x + 4nx cosh x + (4n^2-2n) senh x$
Identità fondamentale : $( Ch x)^2-( Sh x)^2=1$
Ho pensato di dividere tutto per $Shx$, trasformare le funzioni iperboliche con $e^x$, .... mi è venuto che $Ch x / ( Sh x)=-1$ (è corretto?)
Quindi:
$ x^{4n} ( senh x)^{2n-1}=x^2-4nx+ 4n^2-2n=x(x-2n) +2n(-x+2n-1)$
Poi non so che altro inventarmi.... e non sono neanche sicuro che i passaggi fatti siano corretti...
Risposte
Innanzitutto sembra che la formula da dimostrare non sia vera.... 
Questo è un codice MATLAB che disegna le due funzioni.
Anche se non lo conosci è abbastanza intuitivo.
Controlla se tutto è ok, direi di aver fatto tutto giusto
La blue è $f^(2n)$, la rossa è quella con "n" all'inteno.
"n" è 1 ($n=1$).
Domandone: non è che con $f^(2n)(x)$ si stia parlando di derivate e invece che di elevamento a potenza ???
(mi è venuto in mente adesso...)
Questo è un codice MATLAB che disegna le due funzioni.
Anche se non lo conosci è abbastanza intuitivo.
Controlla se tutto è ok, direi di aver fatto tutto giusto
La blue è $f^(2n)$, la rossa è quella con "n" all'inteno.
"n" è 1 ($n=1$).
Domandone: non è che con $f^(2n)(x)$ si stia parlando di derivate e invece che di elevamento a potenza ???
(mi è venuto in mente adesso...)f=inline('(x.^2).*sinh(x)')
g=inline('(x.^2+ 2*n*(2*n-1)).*sinh(x) + 4*n*x.*cosh(x)','x','n')
x=linspace(-3,3,100)
n=1
plot(x,(f(x).^2))
hold on
plot(x,g(x,1),'r')
Grazie per la risposta 
Dato che con la potenza l'uguaglianza non è vera, suppongo che tu abbia ragione e sia una derivata!
Tra l'altro il 2n in alto stava tra parentesi tonde...
A questo punto però come si risolvere l'esercizio?
Devo integrare rispetto a n per due volte la derivata che mi è stata data e poi porla uguale alla funzione?
Sono un po' arrugginito con questi esercizi...
Dato che con la potenza l'uguaglianza non è vera, suppongo che tu abbia ragione e sia una derivata!
Tra l'altro il 2n in alto stava tra parentesi tonde...
A questo punto però come si risolvere l'esercizio?
Devo integrare rispetto a n per due volte la derivata che mi è stata data e poi porla uguale alla funzione?
Sono un po' arrugginito con questi esercizi...
"ritalevimontalcini":
Grazie per la risposta
Dato che con la potenza l'uguaglianza non è vera, suppongo che tu abbia ragione e sia una derivata!
Tra l'altro il 2n in alto stava tra parentesi tonde...
Ma davvero ?
Si
Stavo pensando che per risolverlo posso applicare lo sviluppo di taylor calcolato in n?
Stavo pensando che per risolverlo posso applicare lo sviluppo di taylor calcolato in n?
Lo dimostri per induzione.
Prendi $f^((2n))(x)$ e lo derivi due volte in x.
Poi calcoli $f^((2(n+1)))(x)$.
Devono essere uguali. Se sono uguali, hai dimostrato che il gioco funziona.
Poi, c'è sempre il primo passo banale di dimostrare che $f''(x)=f(x,n)|_( n=1)$...
Prendi $f^((2n))(x)$ e lo derivi due volte in x.
Poi calcoli $f^((2(n+1)))(x)$.
Devono essere uguali. Se sono uguali, hai dimostrato che il gioco funziona.
Poi, c'è sempre il primo passo banale di dimostrare che $f''(x)=f(x,n)|_( n=1)$...
ma f^(2n) (x) non è già una derivata?
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