Dimostrazione divergenza di una serie per assurdo
Ho questa serie:
$\sum_{n=2}^\infty\frac{1}{sqrt(n)*ln^3(n)}$
Ho provato a inserirla in Wolfram Alpha e mi ha confermato che diverge, risultato a cui ero arrivato anch'io. Tuttavia ho alcuni dubbi sul fatto che la mia dimostrazione sia lecita o, se per puro caso, gli eventuali errori non vanno a inficiare il risultato.
Anzitutto ho notato che la serie è a termini positivi.
Ho poi visto, sulla falsa riga di un esercizio visto a lezione, che $AA \epsilon>0$ si ha definitivamente che $n^\epsilon=o(ln^3(n))$, in quanto $lim_(x->0)n^\epsilon/ln^3(n) =0$
Definitivamente si ha quindi $ln^3(n)>n^\epsilon$, ossia $1/ln^3(n)<1/n^\epsilon$, o anche $1/(sqrt(n)*ln^3(n))<1/(sqrt(n)*n^\epsilon)$
Scegliendo per esempio $\epsilon=3/2$, si ha che definitivamente $1/(sqrt(n)*ln^3(n))<1/n^2$.
Questo vuol dire che, sempre definitivamente, $\sum_{n=2}^\infty\frac{1}{sqrt(n)*ln^3(n)}<\sum_{n=2}^\infty\1/n^2$, che mi sembra tanto un assurdo, in quanto una serie a termini positivi non può fino a un certo punto essere superiore a un certo numero (la serie armonica in questione converge) e poi, da quel punto in poi, sempre con termini positivi, far ottenere una somma inferiore.
Pertanto, essendo la convergenza un assurdo ed essendo a termini positivi, la serie diverge.
C'è qualche punto sbagliato? Sarà perchè è praticamente la prima serie che analizzo in questo modo, ma ho l'impressione che mi sfugga qualcosa.
$\sum_{n=2}^\infty\frac{1}{sqrt(n)*ln^3(n)}$
Ho provato a inserirla in Wolfram Alpha e mi ha confermato che diverge, risultato a cui ero arrivato anch'io. Tuttavia ho alcuni dubbi sul fatto che la mia dimostrazione sia lecita o, se per puro caso, gli eventuali errori non vanno a inficiare il risultato.
Anzitutto ho notato che la serie è a termini positivi.
Ho poi visto, sulla falsa riga di un esercizio visto a lezione, che $AA \epsilon>0$ si ha definitivamente che $n^\epsilon=o(ln^3(n))$, in quanto $lim_(x->0)n^\epsilon/ln^3(n) =0$
Definitivamente si ha quindi $ln^3(n)>n^\epsilon$, ossia $1/ln^3(n)<1/n^\epsilon$, o anche $1/(sqrt(n)*ln^3(n))<1/(sqrt(n)*n^\epsilon)$
Scegliendo per esempio $\epsilon=3/2$, si ha che definitivamente $1/(sqrt(n)*ln^3(n))<1/n^2$.
Questo vuol dire che, sempre definitivamente, $\sum_{n=2}^\infty\frac{1}{sqrt(n)*ln^3(n)}<\sum_{n=2}^\infty\1/n^2$, che mi sembra tanto un assurdo, in quanto una serie a termini positivi non può fino a un certo punto essere superiore a un certo numero (la serie armonica in questione converge) e poi, da quel punto in poi, sempre con termini positivi, far ottenere una somma inferiore.
Pertanto, essendo la convergenza un assurdo ed essendo a termini positivi, la serie diverge.
C'è qualche punto sbagliato? Sarà perchè è praticamente la prima serie che analizzo in questo modo, ma ho l'impressione che mi sfugga qualcosa.
Risposte
confesso che non ho seguito tanto il tuo discorso
quello che posso dire è che, ad esempio ,la serie è minorata dalla serie di termine generale
$1/sqrtncdot 1/root(3)(n) $ ,che è divergente
quello che posso dire è che, ad esempio ,la serie è minorata dalla serie di termine generale
$1/sqrtncdot 1/root(3)(n) $ ,che è divergente
Non ci avevo pensato, grazie. Se riesci a dare un'occhiata anche alla dimostrazione mi fai un favore. Non vorrei fare eventualmente gli stessi errori anche in altri casi
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