Dimostrazione disuguaglianza di Cauchy-Schwarz

[niccoset]

L'enunciato è il seguente:

Per ogni $ x,y in RR^n $ si ha $ |x * y|<=|x||y| $. Inoltre $ x*y=|x||y| $ se e solo se o $ y=0 $, o $ x=lambday,lambda>=0 $.

Dimostrazione. Se $ y=0 $, la tesi è ovvia. Per $ y!=0 $, la funzione $ t->|x+ty|^2 $ è un polinomio non negativo di secondo grado in $ t $, $ 0<=|x+ty|^2=(x+ty|x+ty)=|x|^2+2(x|y)t+|y|^2t^2 $
perciò il suo discriminante $ (x|y)^2-|x|^2|y|^2 $ è non positivo, i.e., la disuguaglianza di Cauchy-Schwarz.
Inoltre, se $ (x|y)=|x||y| $, allora il discriminante del polinomio $ t->|x+ty|^2 $ è nullo. Perciò per qualche $ tinRR $ $ |x+ty|^2=0 $ e dunque $ x=-ty $. Resta da provare che $ -t $ è non negativo; questo segue da $ -t =(x|y)=|x||y|>=0 $.


Qualcuno può spiegarmi l'ultima riga? Il fatto che resta da provare che $ -t $ è non negativo mi torna ma non capisco quel "questo segue da $ -t=(x|y) $ " ; da dove segue?

Grazie.

[johnhappy1]

Sinceramente penso debba essere $(x|y)=(-ty|y)=-t(y|y)=-t|y|^2$ da cui
$-t=\frac{(x|y)}{|y|^2}=\frac{|x||y|}{|y|^2}=\frac{|x|}{|y|}\geq 0 $. Cioè il risultato non cambia però penso bisogna dividere per il quadrato della norma di $y$

[niccoset]

Grazie mille!!