Dimostrazione disuguaglianza di Bernoulli per induzione
Salve, scrivo per un dubbio che non mi da pace: la seguente dimostrazione per induzione della disuguaglianza di Bernoulli va bene? Premetto che non ho avuto problemi a dimostrare la disuguaglianza ma non sono sicuro della sua correttezza. Riporto qui sotto la mia dimostrazione:
Dimostrare che: \[\forall n \in \mathbb{N} \quad (1+x)^n \geq 1+ nx \quad : \quad x \geq -1\]
Base induttiva: \[\begin{align*} &n = 0 \\ &(1+x)^0 \geq 1 + 0 \quad \rightarrow \quad 1 \geq 1 \end{align*}\]
Passo induttivo:
Dimostrare che: \[\forall n \in \mathbb{N} \quad (1+x)^n \geq 1+ nx \quad : \quad x \geq -1\]
Base induttiva: \[\begin{align*} &n = 0 \\ &(1+x)^0 \geq 1 + 0 \quad \rightarrow \quad 1 \geq 1 \end{align*}\]
Passo induttivo:
- Dall'ipotesi induttiva ne ottengo una equivalente moltiplicando entrambi i membri della disuguaglianza per \(\displaystyle (1+x) \). Questo è possibile perché \(\displaystyle (1+x) \) non è mai negativo lasciando dunque invariato il segno della disuguaglianza: \[\forall n \in \mathbb{N} \quad (1+x)^n(1+x) \geq (1+ nx)(1+x) = 1 + (n+1)x + nx^2 \quad : \quad x \geq -1\]
Addesso uso l'ipotesi induttiva derivata per dimostrare la proprietà per \(\displaystyle n + 1 \):
\[ \begin{align} &(1+x)^{n+1} \geq 1+ (n+1)x \\ &(1+x)^n(1+x) \geq 1+ (n+1)x \\ &(1+x)^n(1+x) + nx^2 \geq 1+ (n+1)x + nx^2 \end{align}\]
Applico l'ipotesi induttiva derivata all'ultima disuguaglianza notando che \(\displaystyle nx^2 \) con \(\displaystyle x > -1 \) e \(\displaystyle n \in \mathbb{N} \) è sempre positivo. Visto che \(\displaystyle (1+x)^n(1+x) \geq 1 + (n+1)x + nx^2\) sommando a \(\displaystyle (1+x)^n(1+x)\) il termine \(\displaystyle nx^2\) si ottiene una quantità maggiore di \(\displaystyle (1+x)^n(1+x) + nx^2\) dimostrando così la disuguaglianza. [/list:u:3bek6g38]
Questa dimostrazione va bene o c'è qualcosa di sbagliato? Grazie in anticipo per le risposte
(Scusate per la formattazione pessima ma non ho mai scritto in latex)
Risposte
Mi sembra fin troppo lunga la tua, te ne propongo una alternativa. Dimostrato il passo base, supponi che $(1+x)^n >=1+ nx$
Per il passo induttivo, di solito, si parte dalla $P(n+1)$ e, usando l'ipotesi induttiva, si dimostra la proposizione.
Considero quindi $(1+x)^(n+1) = (1+x) (1+x)^n >= (1+x)(1+nx)$ (qui ho applicato l'ipotesi induttiva).
$(1+x)(1+nx) = 1+nx+x+nx^2$[nota]$nx^2>=0$ sempre[/nota] $>= 1 + nx +x +0 = 1+x(n+1)$.
Dimostrazione finita.
Per il passo induttivo, di solito, si parte dalla $P(n+1)$ e, usando l'ipotesi induttiva, si dimostra la proposizione.
Considero quindi $(1+x)^(n+1) = (1+x) (1+x)^n >= (1+x)(1+nx)$ (qui ho applicato l'ipotesi induttiva).
$(1+x)(1+nx) = 1+nx+x+nx^2$[nota]$nx^2>=0$ sempre[/nota] $>= 1 + nx +x +0 = 1+x(n+1)$.
Dimostrazione finita.
@SegFault: Per esercizio, prova a dimostrare che per ogni $n\in NN$ con $n >= 1$, comunque scegli $x_1,x_2,...,x_n >= -1$ aventi lo stesso segno (cioè o tutti positivi o tutti negativi), risulta:
\[
(1 + x_1)(1 + x_2)\cdots (1 + x_n) \geq 1 + x_1 + x_2 +\cdots + x_n\; .
\]
\[
(1 + x_1)(1 + x_2)\cdots (1 + x_n) \geq 1 + x_1 + x_2 +\cdots + x_n\; .
\]
Ok quindi ricapitolando (sempre se ho capito bene):
Parto dall'ipotesi \(\displaystyle (1+x)^{n} \geq 1 + nx \), per ipotesi induttiva ottengo \(\displaystyle (1+x)(1+x)^n \geq 1 + x(n+1) + nx^2 \), e con questo ho già dimostrato la proprietà perché se \(\displaystyle (1+x)^{n+1} \geq 1 + x(n+1) + nx^2 \), allora vale anche \(\displaystyle (1+x)^{n+1} \geq 1 + x(n+1) \). Che è quello che si voleva dimostrare.
Ero abituato a dimostrare le disuguaglianze (quindi \(\displaystyle f(n) \geq g(n) \)) per induzione partendo da \(\displaystyle P(n+1) \), per ottenere poi un'espressione del tipo \(\displaystyle f(n) + k \geq g(n)\) che per ipotesi induttiva è vera. Per questo ho preso quella strada. La prossima volta ci pensero di più. Grazie mille
Parto dall'ipotesi \(\displaystyle (1+x)^{n} \geq 1 + nx \), per ipotesi induttiva ottengo \(\displaystyle (1+x)(1+x)^n \geq 1 + x(n+1) + nx^2 \), e con questo ho già dimostrato la proprietà perché se \(\displaystyle (1+x)^{n+1} \geq 1 + x(n+1) + nx^2 \), allora vale anche \(\displaystyle (1+x)^{n+1} \geq 1 + x(n+1) \). Che è quello che si voleva dimostrare.
Ero abituato a dimostrare le disuguaglianze (quindi \(\displaystyle f(n) \geq g(n) \)) per induzione partendo da \(\displaystyle P(n+1) \), per ottenere poi un'espressione del tipo \(\displaystyle f(n) + k \geq g(n)\) che per ipotesi induttiva è vera. Per questo ho preso quella strada. La prossima volta ci pensero di più. Grazie mille
"gugo82":
@SegFault: Per esercizio, prova a dimostrare che per ogni $n\in NN$ con $n >= 1$, comunque scegli $x_1,x_2,...,x_n >= -1$ aventi lo stesso segno (cioè o tutti positivi o tutti negativi), risulta:
\[
(1 + x_1)(1 + x_2)\cdots (1 + x_n) \geq 1 + x_1 + x_2 +\cdots + x_n\; .
\]
Dopo che HowardRoark mi ha fatto capire la sua dimostrazione ho pensato a questo:
Per la base induttiva prendo \(\displaystyle n = 1 \) ottenendo \(\displaystyle 1 + x_1 = 1 + x_1\), che è sempre vero per ogni \(\displaystyle x_1 \)
Per continuare con il passo induttivo, per semplicità nella lettura, denoto il prodotto della proprietà da dimostrare come \(\displaystyle p(n) \) e la somma con \(\displaystyle s(n) \).
1. Devo dimostrare che \(\displaystyle p(n)(1+ x_{n+1} )\geq 1 + s(n) + x_{n+1}\).
- Per fare ciò parto dalla proprietà e per ipotesi induttiva ottengo \(\displaystyle p(n)(1 + x_{n+1}) \geq (1 + s(n))(1 + x_{n + 1}) \). Questo è possibile perché \(\displaystyle (1 + x_{n+1}) \geq 0 \ : \ x_{n+1} \geq -1\)
Continuando ottengo \(\displaystyle p(n)(1+x_{n+1}) \geq 1 + s(n) + x_{n+1} + s(n)x_{n+1} \), dimostrando così \(\displaystyle P(n+1) \) solamente se \(\displaystyle s(n)x_{n+1} \geq 0 \) [/list:u:10cej7ps]
2. Dimostrare che \(\displaystyle s(n)x_{n+1} \geq 0 \) sempre. Qui ho due casi:
- a. \(\displaystyle \ x_k \geq 0 \ : \ 1 \leq k \leq n \) quindi \(\displaystyle s(n) \geq 0 \) e \(\displaystyle x_{n+1} \geq 0 \) quindi \(\displaystyle s(n)x_{n+1} \geq 0 \)
b. \(\displaystyle \ x_k = -1 \ : \ 1 \leq k \leq n \) quindi \(\displaystyle s(n) \leq 0 \) e \(\displaystyle x_{n+1} = -1 \) quindi \(\displaystyle s(n)x_{n+1} \geq 0 \)
[/list:u:10cej7ps]
[/list:u:10cej7ps]
Dato che in entrambi i casi \(\displaystyle s(n)x_{n+1} \geq 0 \) la proprietà è vera \(\displaystyle \forall n \in \mathbb{N} \ : \ n \geq 1 \)
Ciao SegFault,
Qui più semplicemente basta osservare che se $x_1, x_2, ... , x_{n + 1} $ hanno tutti lo stesso segno (cioè o tutti positivi o tutti negativi) i termini del tipo $x_j x_k $ saranno sempre positivi.
Chiaramente, una volta dimostrato che $(1 + x_1) \cdot (1 + x_2) \cdot ... \cdot (1 + x_n) \ge 1 + x_1 + x_2 + ... + x_n $ la disuguaglianza di Bernoulli si ottiene come caso particolare assumendo $x_1 = x_2 = ... = x_n =x$:
$ (1 + x)^n \ge 1 + nx $
Nel caso particolare $x = 0 $ vale ovviamente il segno di uguaglianza.
"SegFault":
2. Dimostrare che $s(n)x_{n +1} \ge 0 $ sempre. [...]
Qui più semplicemente basta osservare che se $x_1, x_2, ... , x_{n + 1} $ hanno tutti lo stesso segno (cioè o tutti positivi o tutti negativi) i termini del tipo $x_j x_k $ saranno sempre positivi.
Chiaramente, una volta dimostrato che $(1 + x_1) \cdot (1 + x_2) \cdot ... \cdot (1 + x_n) \ge 1 + x_1 + x_2 + ... + x_n $ la disuguaglianza di Bernoulli si ottiene come caso particolare assumendo $x_1 = x_2 = ... = x_n =x$:
$ (1 + x)^n \ge 1 + nx $
Nel caso particolare $x = 0 $ vale ovviamente il segno di uguaglianza.
"pilloeffe":
Ciao SegFault,
Qui più semplicemente basta osservare che se $x_1, x_2, ... , x_{n + 1} $ hanno tutti lo stesso segno (cioè o tutti positivi o tutti negativi) i termini del tipo $x_j x_k $ saranno sempre positivi.
Non ho ben capito. Che cosa intendi con \(\displaystyle x_j \) e \(\displaystyle x_k \)? Poi ovviamente se tutte le \(\displaystyle x \) sono positive la loro somma è positiva, viceversa se sono negative è negativa. Alla fine si ottiene un prodotto con lo stesso segno che da un positivo.
Comunque grazie per avermi fatto notare che con tutte le \(\displaystyle x \) uguali si ottiene la disuguaglianza di Bernoulli.
"SegFault":
Non ho ben capito. Che cosa intendi con $x_j$ e $x_k$?
Mi spiego meglio.
Assumiamo come ipotesi induttiva la seguente:
$(1+x_{1})(1+x_{2}) \cdot ... \cdot (1+x_{n})\ge 1+x_{1}+x_{2}+ ... +x_{n}$
Moltiplicando ambo i membri per il numero positivo $(1 + x_{n+1})$ si ha:
[tex]\begin{equation}
(1+x_{1})(1+x_{2}) \cdot ... \cdot (1+x_{n})\cdot (1+x_{n+1})
\ge (1+x_{1}+x_{2}+ \dots +x_{n})(1+x_{n+1}) =\\
= (1+x_1+x_2+\dots +x_n)+x_{n+1}+x_1 x_{n+1}+x_2 x_{n+1}+\dots +x_n x_{n+1}
\end{equation}[/tex]
Dato che $x_{1}, x_{2}, ..., x_{n}, x_{n+1}$ hanno tutti lo stesso segno (positivo o negativo), i prodotti $x_{1}x_{n+1}$, $x_{2}x_{n+1}$, ..., $x_{n}x_{n+1}$ (i prodotti del tipo $x_j x_k$) sono tutti numeri positivi. Pertanto per l'ultima quantità scritta si ha:
$(1+x_1+x_2+ ... +x_n)+x_{n+1}+x_{1}x_{n+1}+x_{2}x_{n+1}+... +x_{n}x_{n+1} \ge $
$ \ge 1+x_1+x_2+ ... + x_n + x_{n+1}$
che è ciò che si voleva dimostrare. [tex]\Box[/tex]
"SegFault":
Comunque grazie per avermi fatto notare che con tutte le $x$ uguali si ottiene la disuguaglianza di Bernoulli.
Prego.
"pilloeffe":
Chiaramente, una volta dimostrato che $(1 + x_1) \cdot (1 + x_2) \cdot ... \cdot (1 + x_n) \ge 1 + x_1 + x_2 + ... + x_n $ la disuguaglianza di Bernoulli si ottiene come caso particolare assumendo $x_1 = x_2 = ... = x_n =x$:
$ (1 + x)^n \ge 1 + nx $
Era l'idea base dell'esercizio.
"pilloeffe":
Nel caso particolare $x = 0 $ vale ovviamente il segno di uguaglianza.
L'uguaglianza dovrebbe valere sotto le stesse condizioni anche nel caso generale... Probabilmente è un fatto di convessità.
"gugo82":
Era l'idea base dell'esercizio.
Eh lo so, ma avevo capito che non era stata colta dall'OP...
"gugo82":
L'uguaglianza dovrebbe valere sotto le stesse condizioni anche nel caso generale...
Sì.
Stavo anche osservando che la disuguaglianza $ (1 + x_1) \cdot (1 + x_2) \cdot ... \cdot (1 + x_n) \ge 1 + x_1 + x_2 + ... + x_n $
continua a valere anche se si ammette che qualche $x_k$ possa essere nullo, cioè in altre parole se si ha $x_k \ge 0 $ oppure in alternativa $x_k \le 0 $ per $k = 1, 2, ..., n $.
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