Dimostrazione distanze non equivalenti (distanza euclidea e distanza ferroviaria francese)
Buongiorno,
devo dimostrare che con $X=R^n$ la distanza euclidea $d(x,y)$ e la distanza ferroviaria francese $d_p(x,y)$ non sono equivalenti.
Le due distanze sono così definite ($\forall x,y \in R^n$):
distanza euclidea
\[
d(x,y) = \sqrt{\sum_{i=1}^n (x_i-y_i)^2}
\]
distanza ferroviaria francese, con $p \in R^n$ fissato
\[
d_p(x,y) = \begin{cases} 0 & \mbox{se } x=y \\ d(x,p)+d(y,p) & \mbox{se } x\ne y \end{cases}
\]
Quindi devo dimostrare che non vero :
\[
\exists c,C \in (0,+\infty) \mbox{ tali che } \forall x,y \in R^n
\]
\[
c\cdot d(x,y) \le d_p(x,y) \le C\cdot d(x,y)
\]
Io ho provato a risolverla. So che $d(x,y)\le d_p(x,y)$ è vera per la disuguaglianza triangolare (vera per $c=1$).
Non riesco invece a dimostrare che non esiste un $C$ che renda vera $d_p(x,y) \le C \cdot d(x,y)$.
Ho provato per semplicità a scegliere $n=1$ quindi $X=R$ e $p$ tale che $x-p=y$. Allora:
\[
d_p(x,y) \le C \cdot d(x,y)
\]
\[
\left \| x-p \right \| + \left \| y-p \right \| \le C \cdot \left \| x-y \right \| \\
\]
\[
\left \| y \right \| + \left \| y-p \right \| \le C \cdot \left \| p \right \| \\
\]
\[
|y| + |y-p| \le C \cdot |p|
\]
Così facendo ho dimostrato che essendo $p$ un numero fisso e $C$ un numero finito non può esistere che siano maggiori di un valore infinito. E' corretto? Esiste una dimostrazione più generale?
Grazie
devo dimostrare che con $X=R^n$ la distanza euclidea $d(x,y)$ e la distanza ferroviaria francese $d_p(x,y)$ non sono equivalenti.
Le due distanze sono così definite ($\forall x,y \in R^n$):
distanza euclidea
\[
d(x,y) = \sqrt{\sum_{i=1}^n (x_i-y_i)^2}
\]
distanza ferroviaria francese, con $p \in R^n$ fissato
\[
d_p(x,y) = \begin{cases} 0 & \mbox{se } x=y \\ d(x,p)+d(y,p) & \mbox{se } x\ne y \end{cases}
\]
Quindi devo dimostrare che non vero :
\[
\exists c,C \in (0,+\infty) \mbox{ tali che } \forall x,y \in R^n
\]
\[
c\cdot d(x,y) \le d_p(x,y) \le C\cdot d(x,y)
\]
Io ho provato a risolverla. So che $d(x,y)\le d_p(x,y)$ è vera per la disuguaglianza triangolare (vera per $c=1$).
Non riesco invece a dimostrare che non esiste un $C$ che renda vera $d_p(x,y) \le C \cdot d(x,y)$.
Ho provato per semplicità a scegliere $n=1$ quindi $X=R$ e $p$ tale che $x-p=y$. Allora:
\[
d_p(x,y) \le C \cdot d(x,y)
\]
\[
\left \| x-p \right \| + \left \| y-p \right \| \le C \cdot \left \| x-y \right \| \\
\]
\[
\left \| y \right \| + \left \| y-p \right \| \le C \cdot \left \| p \right \| \\
\]
\[
|y| + |y-p| \le C \cdot |p|
\]
Così facendo ho dimostrato che essendo $p$ un numero fisso e $C$ un numero finito non può esistere che siano maggiori di un valore infinito. E' corretto? Esiste una dimostrazione più generale?
Grazie
Risposte
Anch'io mi metto in R (semmai si aggiungono tanti 0 q.b.).
p=0 (possiamo mettere Parigi nell'origine senza ledere la generalità)
x=n
y=n+1
Ovviamente n sta nei naturali.
Per ogni n la distanza euclidea tra x ed y vale 1, mentre quella ff vale 2n+1. Ergo...
p=0 (possiamo mettere Parigi nell'origine senza ledere la generalità)
x=n
y=n+1
Ovviamente n sta nei naturali.
Per ogni n la distanza euclidea tra x ed y vale 1, mentre quella ff vale 2n+1. Ergo...
Grazie mille,
quindi ottengo $2n+1 \le 1\cdot C$ ed è impossibile esista un $C\in (0,\infty)$ che la renda vera perché i numeri naturali sono infiniti, mentre $C$ per quanto grande è un numero finito. E' corretto?
La dimostrazione che avevo proposto era corretta? Nel senso a me sembra corretto dire $C\cdot |p|$ è un valore finito rispetto a $|y| + |y-p|$ e quindi non può essere maggiore.
PS: grazie davvero per la risposta. Davvero velocissimo.
quindi ottengo $2n+1 \le 1\cdot C$ ed è impossibile esista un $C\in (0,\infty)$ che la renda vera perché i numeri naturali sono infiniti, mentre $C$ per quanto grande è un numero finito. E' corretto?
La dimostrazione che avevo proposto era corretta? Nel senso a me sembra corretto dire $C\cdot |p|$ è un valore finito rispetto a $|y| + |y-p|$ e quindi non può essere maggiore.
PS: grazie davvero per la risposta. Davvero velocissimo.
"ApoInge":
Grazie mille,
quindi ottengo $2n+1 \le 1\cdot C$ ed è impossibile esista un $C\in (0,\infty)$ che la renda vera perché i numeri naturali sono infiniti, mentre $C$ per quanto grande è un numero finito. E' corretto?
Certo.
Posso aggiungere che non ho usato a caso i numeri naturali: con loro, posso far riferimento diretto alla proprietà archimedea
"ApoInge":
La dimostrazione che avevo proposto era corretta? Nel senso a me sembra corretto dire $C\cdot |p|$ è un valore finito rispetto a $|y| + |y-p|$ e quindi non può essere maggiore.
La mia risposta è apparentemente scortese (chi mi conosce non si stupisce).
Ovvero, non rispondo alla tua domanda. Magari ci saranno altri che lo faranno.
Il vero motivo per cui ho risposto, e soprattutto perché ho dato quella risposta è il seguente: tu devi dimostrare che una certa proprietà non vale. Basta un controesempio. E allora è" buona matematica" cercare di farlo il più semplice possibile.
La tua domanda: "Esiste una dimostrazione più generale?" non va al cuore del problema. Il cuore del problema è, semmai, come ho detto, trovare "Il controesempio più semplcie possibile". Ecco perché:
- ho preso n=1
- ho messo p nell'origine (anche se, così facendo, mi impegno moralmente a dimostrare che la stessa cosa si può fare per ogni "p", ma lascio a te l'onere di questa semplice prova
- ho scelto x ed y cercando di farlo "nel modo più semplcie possibile" (ecco perché l'uso dei numeri naturali, ma soprattutto l'uso di UNA sola variabile)
"ApoInge":
PS: grazie davvero per la risposta. Davvero velocissimo.
La velocità è solo frutto del caso, ero già "loggato" (!) per rispondere a un'altra domanda...
Buona continuazione!
Capisco perfettamente la tua risposta e ti ringrazio ancora per avermi aiutato. 
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo