DIMOSTRAZIONE DISEQUAZIONE
La mia professoressa di Analisi ci ha chiesto di dimostrare la seguente disequazione:
con a,b>0
Ho provato a ragionare per assurdo ma non mi trovo
Quali passaggi seguireste?
Grazie in anticipo
[math]\frac{a+b}{2}[/math]
>[math]\sqrt{ab}[/math]
con a,b>0
Ho provato a ragionare per assurdo ma non mi trovo
Quali passaggi seguireste?
Grazie in anticipo
Risposte
Buonasera,
prima di seguire qualsiasi strada, in una disequazione, così come in un'equazione, conviene sempre "pulirsi un po' il campo"; ad esempio: qui compaiono un denominatore e una radice quadrata, converrebbe eliminarli. Facendolo, dovrebbe saltarti all'occhio la via da percorrere per giungere alla tesi.
prima di seguire qualsiasi strada, in una disequazione, così come in un'equazione, conviene sempre "pulirsi un po' il campo"; ad esempio: qui compaiono un denominatore e una radice quadrata, converrebbe eliminarli. Facendolo, dovrebbe saltarti all'occhio la via da percorrere per giungere alla tesi.
La disequazione è sospetta. Infatti se
Ossia
Il che viola il principio di non contraddizione. Detto questo:
moltiplicando per 2 ambo i membri e sottraendo a questi la quantità
Si ha:
Che è sempre vera, visto che a sinistra vi è un quadrato, tranne quando si annulla; il che avviene quando, appunto:
[math]b=a \Longrightarrow \frac{2a}{2} > \sqrt{a^2}\\a>a[/math]
Ossia
[math]a>a[/math]
Il che viola il principio di non contraddizione. Detto questo:
moltiplicando per 2 ambo i membri e sottraendo a questi la quantità
[math]2\sqrt{ab}[/math]
Si ha:
[math]a-2\sqrt{ab}+b>0\\(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2>0[/math]
Che è sempre vera, visto che a sinistra vi è un quadrato, tranne quando si annulla; il che avviene quando, appunto:
[math]\sqrt{a}=\sqrt{b}[/math]
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