Dimostrazione differenziabilità -> continuità

[Spire]

Salve, mi son imbattuto nella dimostrazione che se una funzione $f(x,y)$ è differenziabile in un punto $P_0(x_0,y_0)$ allora è anche continua in quel punto.
Mi hanno detto che dalla definizione di differenziabilità si intuisce che è continua ma forse son scemo io o non ho capito.
Qualcuno può darmi delucidazioni su questa dimostrazione?

Cerco di farvi capire dove sono arrivato io:
Da quello che ho capito devo partire da questa roba qua:
$lim_{(x,y)->(x_0,y_0)} (f(x,y)- f(x_0,y_0) -f_x(x_0,y_0)(x-x_0)-f_y(x_0,y_0)(y-x_0))/sqrt((x-x_0)^2+(y-y_0)^2)=0$
e la definizione di continuità in $P_0(x_0,y_0)$ è:
$lim_{(x,y)->(x_0,y_0)} f(x,y)= f(x_0,y_0)$

"si vede" che se $x=x_0$ e $y=y_0$ le derivate parziali vengono eliminare ma uhmmm... anche il denominatore di annulla...
Mi è venuto in mente che il denominatore è anche l'o piccolo dell'approssimazione della mia funzione in quel punto... ci può entrare qualcosa?

Ringrazio in anticipo!

[Fioravante Patrone1]

in breve

$lim_{(x,y)->(x_0,y_0)} (f(x,y)- f(x_0,y_0) -f_x(x_0,y_0)(x-x_0)-f_y(x_0,y_0)(y-x_0))/sqrt((x-x_0)^2+(y-y_0)^2)=0$

quindi:

$lim_{(x,y)->(x_0,y_0)} (f(x,y)- f(x_0,y_0) -f_x(x_0,y_0)(x-x_0)-f_y(x_0,y_0)(y-x_0))/sqrt((x-x_0)^2+(y-y_0)^2) \cdot sqrt((x-x_0)^2+(y-y_0)^2) =0$

pertanto:

$lim_{(x,y)->(x_0,y_0)} (f(x,y)- f(x_0,y_0) -f_x(x_0,y_0)(x-x_0)-f_y(x_0,y_0)(y-x_0))=0$

essendo (come dici sostanzialmente tu):

$lim_{(x,y)->(x_0,y_0)} f_x(x_0,y_0)(x-x_0) + f_y(x_0,y_0)(y-x_0)=0$

ne segue, dal teorema sulla somma dei limiti, che:

$lim_{(x,y)->(x_0,y_0)} f(x,y) - f(x_0,y_0) = 0$

e pertanto:

$lim_{(x,y)->(x_0,y_0)} f(x,y)= f(x_0,y_0)$