[DIMOSTRAZIONE] differenziabile $\Rightarrow$ continua
Scusate la scarsità di esposizione nel titolo ma non mi ci entrava tutta la frase.
Sia $f: A \subseteq \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ differenziabile in $x_0 \in A$. Allora $f$ è continua in $x_0$.
Non ho ben capito questa dimostrazione...
La mia ipotesi è
\[\lim_{H \to 0} \frac{f(x_0+H)-f(x_0)-L(H)}{||H||}=0\]
con tutte le cose da dire su $H$ ed $L$, e la mia tesi è
\[\lim_{x \to x_0} f(x)=f(x_0)\]
Partendo dal fatto che
\[ \lim_{x \to x_0} f(x)=f(x_0) \Rightarrow \lim_{x \to x_0} f(x)-f(x_0)=0, \]
facendo il cambio di variabile $x=x_0+H$ la mia tesi diventa
\[\lim_{H \to 0} f(x+H)-f(x_0)=0.\]
Quello che non capisco è come mai mi basta dimostrare che
\[\lim_{H \to 0} L(H)=0\]
per concludere la dimostrazione.
Mi spiego meglio: non capisco che fine faccia quella $||H||$ al denominatore!
Sia $f: A \subseteq \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ differenziabile in $x_0 \in A$. Allora $f$ è continua in $x_0$.
Non ho ben capito questa dimostrazione...
La mia ipotesi è
\[\lim_{H \to 0} \frac{f(x_0+H)-f(x_0)-L(H)}{||H||}=0\]
con tutte le cose da dire su $H$ ed $L$, e la mia tesi è
\[\lim_{x \to x_0} f(x)=f(x_0)\]
Partendo dal fatto che
\[ \lim_{x \to x_0} f(x)=f(x_0) \Rightarrow \lim_{x \to x_0} f(x)-f(x_0)=0, \]
facendo il cambio di variabile $x=x_0+H$ la mia tesi diventa
\[\lim_{H \to 0} f(x+H)-f(x_0)=0.\]
Quello che non capisco è come mai mi basta dimostrare che
\[\lim_{H \to 0} L(H)=0\]
per concludere la dimostrazione.
Mi spiego meglio: non capisco che fine faccia quella $||H||$ al denominatore!
Risposte
Ciao 
forse non capisco bene il problema. Se, per ipotesi,
\[\lim_{H\to 0}\dfrac{f(x_0+H)-f(x_0)-L(H)}{||H||} =0 \]
allora, necessariamente, $[f(x_0+H)-f(x_0)-L(H)] \to 0$. Dimostrando che anche $L\to 0$ per $H\to 0$ ottieni la tesi.
forse non capisco bene il problema. Se, per ipotesi,\[\lim_{H\to 0}\dfrac{f(x_0+H)-f(x_0)-L(H)}{||H||} =0 \]
allora, necessariamente, $[f(x_0+H)-f(x_0)-L(H)] \to 0$. Dimostrando che anche $L\to 0$ per $H\to 0$ ottieni la tesi.
"Plepp":
Ciao
\[\lim_{H\to 0}\dfrac{f(x_0+H)-f(x_0)-L(H)}{||H||} =0 \]
allora, necessariamente, $[f(x_0+H)-f(x_0)-L(H)] \to 0$. Dimostrando che anche $L\to 0$ per $H\to 0$ ottieni la tesi.
Salve Plepp.
In effetti non fa una piega... È la seconda volta questa settimana che mi perdo in "sciocchezze", il troppo studio fa male..!
Grazie mille!
Non ne parliamo anche il poco studio non scherza però per la prima volta in due anni mi sono preso una pausa di un mese e mezzo (non potendo dare altri esami): mi sto arrugginendo in una maniera pazzesca, ci metto quasi il doppio del tempo per arrivare dove devo...che disgrazia
anche il poco studio non scherza però per la prima volta in due anni mi sono preso una pausa di un mese e mezzo (non potendo dare altri esami): mi sto arrugginendo in una maniera pazzesca, ci metto quasi il doppio del tempo per arrivare dove devo...che disgrazia
"Plepp":
Non ne parliamo
Io, al primo anno, mi sono preso ben dieci giorni. Ma ho amici di Ingegneria che se ne sono presi sessanta, avendo dato tutti gli esami entro luglio... Beati loro..!
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