Dimostrazione di un'identità (serie di Fourier)

[andy4649]

Non capisco questo passaggio di una riscrittura della serie di fourier per una funzione x(t).
Qualcuno la seconda uguaglianza di

$ x(t) = Co + sum_(n=1)^(infty)(Cn exp{j2pin/(To)t}+coniugate(Cn)exp{-j2pin/(To)t}) = Co + sum_(n=1)^(infty)(2Re(Cn)cos(2pin/(To)t)-2Im(Cn)sin{2pin/(To)t}) $

dove Cn è l'ennesimo coefficiente della serie di Fourier, j è sqrt(-1), Re() e Im() restituiscono rispettivamente la parte reale e immaginaria dell'argomento, To è una costante, coniugate() restuisce il coniugato di un numero complesso (non sapevo scriverlo con l'asterisco).
Ricordo che la formula di un coefficiente ennesimo di Fourier è

$ Cn = 1/(To)int_(0)^(To) x(t)exp{-j2pin/(To)t} dt $

[coffee2]

Dati $C\in\mathbb C$ e $x\in\mathbb R$, un conto diretto usando la formula di Eulero dovrebbe dimostrare che \[ Ce^{jx}+C^{\ast}e^{-jx}=2\Re(C)\cos x-2\Im(C)\sin x \]
Questa cosa ti torna?

[andy4649]

$ Cexp(jx)+con(C)exp(-jx) = C(cosx+jsinx) + con(C)(cos(-x)+jsin(-x)) = Ccosx+Cjsinx +con(C)cosx-con(C)sinx = 2Re{C}cosx+2Im{C}jsinx $
Da dove esce fuori quel meno?

[coffee2]

Manca un $j$ nel penultimo passaggio.
Il meno esce da \[ C-C^{\ast}=2j\cdot\Im(C) \]

[andy4649]

Continuo a non capire, scusami. $2j Im(C)$ non è positivo? Cioè vorrei sapere perchè $ Re{C}cosx-2Im{C}jsinx $ e non $ Re{C}cosx+2Im{C}jsinx $ come mi esce a me.

[coffee2]

L'uguaglianza \[ jC\sin x - C^{\ast}\sin x = 2j\cdot\Im(C)\sin x \] è sicuramente falsa. Per prima cosa quindi bisogna correggere questo conto

$ Cexp(jx)+con(C)exp(-jx) = \cdots = Ccosx+Cjsinx +con(C)cosx-con(C)sinx $

e trovare che invece \[ Ce^{jx}+C^{\ast}e^{-jx} = C\cos x+jC\sin x+C^{\ast}\cos x-jC^{\ast}\sin x \]

A quel punto per quanto riguarda i seni hai \[ jC\sin x-jC^{\ast}\sin x = j(C-C^{\ast})\sin x = j\cdot 2j\cdot\Im(C)\sin x = -2\Im(C)\sin x \]

[andy4649]

Giusto! j^2 = -1! (e j scompare) Grazie mille

[coffee2]

Prego!