Dimostrazione di una identità della funzione parte intera inferiore
Ho provato a dimostrare l'identità sotto per la funzione parte intera inferiore:
\(\displaystyle \lfloor x+k\rfloor=\lfloor x\rfloor+k, k \in \mathbb{Z} \)
Mi baso sul fatto della disuguaglianza principale
\(\displaystyle \lfloor x\rfloor\leq x<\lfloor x\rfloor+1 \)
Quindi aggiungendo $k$ a tutti i membri si avrebbe
\(\displaystyle \lfloor x\rfloor+k\leq x+k<\lfloor x\rfloor+k+1 \)
Una disuguaglianza simile si avrebbe anche considerando il primo membro dell'identità, infatti
\(\displaystyle \lfloor x+k\rfloor\leq x+k<\lfloor x+k\rfloor+1 \)
Dato che in questa il primo indica la parte intera del secondo membro, posso concludere che anche in quella precedente sia così, ottenendo allora l'identità?. Il dubbio mi viene sul fatto che $\lfloor x\rfloor+k$ potrebbe essere minore dell'intero più vicino minore di $x+k$.
Grazie per l'aiuto
\(\displaystyle \lfloor x+k\rfloor=\lfloor x\rfloor+k, k \in \mathbb{Z} \)
Mi baso sul fatto della disuguaglianza principale
\(\displaystyle \lfloor x\rfloor\leq x<\lfloor x\rfloor+1 \)
Quindi aggiungendo $k$ a tutti i membri si avrebbe
\(\displaystyle \lfloor x\rfloor+k\leq x+k<\lfloor x\rfloor+k+1 \)
Una disuguaglianza simile si avrebbe anche considerando il primo membro dell'identità, infatti
\(\displaystyle \lfloor x+k\rfloor\leq x+k<\lfloor x+k\rfloor+1 \)
Dato che in questa il primo indica la parte intera del secondo membro, posso concludere che anche in quella precedente sia così, ottenendo allora l'identità?. Il dubbio mi viene sul fatto che $\lfloor x\rfloor+k$ potrebbe essere minore dell'intero più vicino minore di $x+k$.
Grazie per l'aiuto
Risposte
Non vorrei sbagliare ma \(\displaystyle \lfloor x+k\rfloor=\lfloor \lfloor x \rfloor + dx +k \rfloor =\lfloor \lfloor x \rfloor + k + dx \rfloor =\lfloor \lfloor x \rfloor + k \rfloor = \lfloor x \rfloor + k \) dove $dx$ è la parte decimale di $x$.
Cordialmente, Alex
Cordialmente, Alex
Ciao, alex grazie per l'aiuto.
Comunque la parte decimale di $x$ si chiama mantissa e si indica con $\{x\}$, ed è in relazione stretta con la parte intera inferiore tramite la seguente uguaglianza
\(\displaystyle \{x\}=x-\lfloor x\rfloor \)
Da cui ottieni la tua identità, che però porta si a quella che ho scritto io, ma sembra che non la dimostri. Il mio scopo è dimostrarla e il metodo che ho usato mi porta a dei dubbi, per questo vorrei sapere se ho fatto giusto.
Comunque grazie a quella relazione ho trovato un'altra dimostrazione penso valida che non mi da' alcun dubbio, sfrutto il fatto che
\(\displaystyle \{x+k\}=\{x\} \)
Quindi
\(\displaystyle \lfloor x+k\rfloor=x+k-\{x+k\}=x+k-\{x\}=x-\{x\}+k=\lfloor x\rfloor+k \)
Il dubbio sulla prima dimostrazione resta ancora però, ed in realtà è meglio mostrarla in tal modo perché per mostrare la periodicità della funzione mantissa alla fine utilizzo la stessa relazione sopra.
Edit: credo di aver risolto, in pratica con la disuguaglianza $\lfloor x\rfloor\leq x$ si indica che il primo membro è un intero minore del secondo membro (o uguale), se questo è il maggiore possibile che sia minore di $x$ allora aumentando di uno esso l'intero ottenuto deve essere maggiore di $x$, quindi $\lfloor x\rfloor+1>x$ e si ottiene una proprietà valida per ogni valore, in generale per ogni $a=\lfloor x\rfloor$ intero che potrebbe essere $\lfloor x\rfloor+k$ nel mio caso.
Voi che ne dite?
Comunque la parte decimale di $x$ si chiama mantissa e si indica con $\{x\}$, ed è in relazione stretta con la parte intera inferiore tramite la seguente uguaglianza
\(\displaystyle \{x\}=x-\lfloor x\rfloor \)
Da cui ottieni la tua identità, che però porta si a quella che ho scritto io, ma sembra che non la dimostri. Il mio scopo è dimostrarla e il metodo che ho usato mi porta a dei dubbi, per questo vorrei sapere se ho fatto giusto.
Comunque grazie a quella relazione ho trovato un'altra dimostrazione penso valida che non mi da' alcun dubbio, sfrutto il fatto che
\(\displaystyle \{x+k\}=\{x\} \)
Quindi
\(\displaystyle \lfloor x+k\rfloor=x+k-\{x+k\}=x+k-\{x\}=x-\{x\}+k=\lfloor x\rfloor+k \)
Il dubbio sulla prima dimostrazione resta ancora però, ed in realtà è meglio mostrarla in tal modo perché per mostrare la periodicità della funzione mantissa alla fine utilizzo la stessa relazione sopra.
Edit: credo di aver risolto, in pratica con la disuguaglianza $\lfloor x\rfloor\leq x$ si indica che il primo membro è un intero minore del secondo membro (o uguale), se questo è il maggiore possibile che sia minore di $x$ allora aumentando di uno esso l'intero ottenuto deve essere maggiore di $x$, quindi $\lfloor x\rfloor+1>x$ e si ottiene una proprietà valida per ogni valore, in generale per ogni $a=\lfloor x\rfloor$ intero che potrebbe essere $\lfloor x\rfloor+k$ nel mio caso.
Voi che ne dite?
Scusami, perché non la dimostra?
Se i passaggi sono corretti (e così mi sembra), ti dimostro come passare da \(\displaystyle \lfloor x+k\rfloor \) a \(\displaystyle \lfloor x \rfloor + k \), che è la tesi che volevi dimostrare. Peraltro, la tua dimostrazione è equivalente alla mia; usi altri simboli, ma se la analizzi bene è la stessa "solfa".
Mi sembra che ti complichi la vita per niente.
Cordialmente, Alex
P.S.: Detta in parole, il primo passaggio dissocia $x$ nella parte intera e nella parte decimale, il secondo solo proprietà commutativa, il terzo passaggio sfrutta la proprietà fondamentale che dice che la parte intera di un numero reale è uguale al numero stesso meno la parte decimale, ed infine l'ultimo passaggio sfrutta il fatto che la parte intera della somma di due numeri interi è uguale alla somma degli stessi. Non ti pare ok?
Se i passaggi sono corretti (e così mi sembra), ti dimostro come passare da \(\displaystyle \lfloor x+k\rfloor \) a \(\displaystyle \lfloor x \rfloor + k \), che è la tesi che volevi dimostrare. Peraltro, la tua dimostrazione è equivalente alla mia; usi altri simboli, ma se la analizzi bene è la stessa "solfa"
.Mi sembra che ti complichi la vita per niente.
Cordialmente, Alex
P.S.: Detta in parole, il primo passaggio dissocia $x$ nella parte intera e nella parte decimale, il secondo solo proprietà commutativa, il terzo passaggio sfrutta la proprietà fondamentale che dice che la parte intera di un numero reale è uguale al numero stesso meno la parte decimale, ed infine l'ultimo passaggio sfrutta il fatto che la parte intera della somma di due numeri interi è uguale alla somma degli stessi. Non ti pare ok?
Ah ok, capito la tua dimostrazione, comunque non era quello che volevo capire, ma se le disequazioni messe in quel modo risultino affidabili per poter confermare la tesi. Comunque nel precedente post ho lasciato un'ipotesi, forse è giusta, che ne pensi?
"CaMpIoN":
Ah ok, capito la tua dimostrazione, comunque non era quello che volevo capire, ...
Grazie
(è una battuta eh ... )"CaMpIoN":
... ma se le disequazioni messe in quel modo risultino affidabili per poter confermare la tesi. ...
Questa sono io che non l'ho capita ...
"CaMpIoN":
Comunque nel precedente post ho lasciato un'ipotesi, forse è giusta, che ne pensi?
Se ho interpretato bene il tuo edit (ma non sono sicuro
) , mi sembra che tu abbia compreso, (anche se in modo però confuso, IMHO) la sostanza della funzione stessa. E cioè, detto con parole mie:
Dato un numero reale $x$ ed un numero intero $n$, il numero intero $n$ viene detto "parte intera inferiore" del numero reale $x$ ed indicato con il simbolo \(\displaystyle \lfloor x \rfloor \) (cioè $n=$ \(\displaystyle \lfloor x \rfloor \) ) se è vero che $n <= x < n+1$ che implica \(\displaystyle \lfloor x \rfloor \) $<= x <$ \(\displaystyle \lfloor x \rfloor + 1\).
Da cui discende immediatamente anche $0 <= $ \(\displaystyle x - \lfloor x \rfloor \) $< 1$ e cioè $0 <= {x} < 1$.
Ed infine $x = $ \(\displaystyle \lfloor x \rfloor \) + $ {x}$.
Chiaro? Spero ...
Cordialmente, Alex
Si chiaro, però ciò che mi interessava è fino alla penultima disequazione.
Grazie per il tuo aiuto Alex e buon anno a tutti!!
Grazie per il tuo aiuto Alex e buon anno a tutti!!
"CaMpIoN":
... però ciò che mi interessava è fino alla penultima disequazione. ...
Sinceramente, però non è chiaro a me cosa effettivamente ti interessava sapere ...
Buon anno a tutti, Alex
Volevo sapere se era possibile dimostrare quell'identità sfruttando quella disequazione, non avevo afferrato il fatto che essa indicasse proprio la proprietà fondamentale della funzione parte intera inferiore, per tale motivo non sapevo se la dimostrazione era effettivamente corretta.
Cioè non ero convinto del fatto che se in una disequazione a primo membro ce un numero intero $n$ e al terzo membro ce il successivo dello stesso numero allora il numero a primo membro indica la funzione parte intera del numero al secondo membro.
Cioè non ero convinto del fatto che se in una disequazione a primo membro ce un numero intero $n$ e al terzo membro ce il successivo dello stesso numero allora il numero a primo membro indica la funzione parte intera del numero al secondo membro.
Chiarissimo e ... Buon Anno
Cordialmente, Alex
Cordialmente, Alex
Grazie, e buon anno anche a te
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