Dimostrazione di una disuguaglianza
Buonasera a tutti. Come parte di una dimostrazione per mostrare che lo spazio dei polinomi trigonometrici è denso nello spazio delle funzioni continue nulle agli estremi, dovrei mostrare che vale la seguente disuguaglianza per ogni n, che fin ora non ho saputo dimostrare:
\( \int_0^\frac{\pi}{2} cos^{2n}(x)\ \text{d} x >\int_0^1 x^{2n}\ \text{d} x \)
intuitivamente mi torna che, per n che diventa sempre più grande, il termine con $x^{2n}$ si schiacci più velocemente a 0 dell'integrale con il coseno negli intervalli considerati, però non riesco a dimostrarlo esplicitamente. Magari é un ovvietà di cui non mi sto rendendo conto, ma se qualcuno potesse aiutarmi mi farebbe un gran favore.
\( \int_0^\frac{\pi}{2} cos^{2n}(x)\ \text{d} x >\int_0^1 x^{2n}\ \text{d} x \)
intuitivamente mi torna che, per n che diventa sempre più grande, il termine con $x^{2n}$ si schiacci più velocemente a 0 dell'integrale con il coseno negli intervalli considerati, però non riesco a dimostrarlo esplicitamente. Magari é un ovvietà di cui non mi sto rendendo conto, ma se qualcuno potesse aiutarmi mi farebbe un gran favore.
Risposte
Ragiona su $cos(x)>=1-x AA0<=x<=1$.
Ciao Shikari,
L'integrale di destra è piuttosto semplice, si ha $\int_0^1 x^{2n} \text{d}x = 1/(2n + 1) $
Quello di sinistra è il noto integrale di Wallis, che si può risolvere iterativamente per parti.
Si ha:
$\int_0^{\pi/2} cos^{2n}(x) \text{d}x = \frac{sqrt{\pi} \Gamma(n + 1/2)}{2 \Gamma(n + 1)} = \frac{sqrt{\pi}}{2 n!} \Gamma(n + 1/2) = \frac{sqrt{\pi}}{2 n!} \cdot \frac{1 \cdot 3 \cdot ... \cdot (2n - 1)}{2^n}\sqrt{\pi} = $
$ = \pi/2 \cdot \frac{(2n - 1)!!}{2^n n!} = \pi/2 \cdot \frac{(2n - 1)!!}{(2n)!!} $
Quindi occorrerebbe dimostrare che si ha:
$ \pi/2 \cdot \frac{(2n - 1)!!}{(2n)!!} > 1/(2n + 1) $
$ \pi/2 \cdot \frac{(2n + 1)!!}{(2n)!!} > 1 $
Ma la quantità $\frac{(2n + 1)!!}{(2n)!!} $ assume il suo valore minimo $1$ per $n = 0 $ (per $n = 1 $ vale $3/2 $, per $n = 2 $ vale $15/8 $ e così via in crescendo...), quindi in effetti l'ultima disuguaglianza scritta è vera $\AA n >= 0 $
L'integrale di destra è piuttosto semplice, si ha $\int_0^1 x^{2n} \text{d}x = 1/(2n + 1) $
Quello di sinistra è il noto integrale di Wallis, che si può risolvere iterativamente per parti.
Si ha:
$\int_0^{\pi/2} cos^{2n}(x) \text{d}x = \frac{sqrt{\pi} \Gamma(n + 1/2)}{2 \Gamma(n + 1)} = \frac{sqrt{\pi}}{2 n!} \Gamma(n + 1/2) = \frac{sqrt{\pi}}{2 n!} \cdot \frac{1 \cdot 3 \cdot ... \cdot (2n - 1)}{2^n}\sqrt{\pi} = $
$ = \pi/2 \cdot \frac{(2n - 1)!!}{2^n n!} = \pi/2 \cdot \frac{(2n - 1)!!}{(2n)!!} $
Quindi occorrerebbe dimostrare che si ha:
$ \pi/2 \cdot \frac{(2n - 1)!!}{(2n)!!} > 1/(2n + 1) $
$ \pi/2 \cdot \frac{(2n + 1)!!}{(2n)!!} > 1 $
Ma la quantità $\frac{(2n + 1)!!}{(2n)!!} $ assume il suo valore minimo $1$ per $n = 0 $ (per $n = 1 $ vale $3/2 $, per $n = 2 $ vale $15/8 $ e così via in crescendo...), quindi in effetti l'ultima disuguaglianza scritta è vera $\AA n >= 0 $
"Shikari":
Buonasera a tutti. Come parte di una dimostrazione per mostrare che lo spazio dei polinomi trigonometrici è denso nello spazio delle funzioni continue nulle agli estremi, dovrei mostrare che vale la seguente disuguaglianza per ogni n, che fin ora non ho saputo dimostrare:
\( \int_0^\frac{\pi}{2} cos^{2n}(x)\ \text{d} x >\int_0^1 x^{2n}\ \text{d} x \)
intuitivamente mi torna che, per n che diventa sempre più grande, il termine con $x^{2n}$ si schiacci più velocemente a 0 dell'integrale con il coseno negli intervalli considerati, però non riesco a dimostrarlo esplicitamente. Magari é un ovvietà di cui non mi sto rendendo conto, ma se qualcuno potesse aiutarmi mi farebbe un gran favore.
Posto $y=cos x$ l'integrale al primo membro diventa:
$int_0^1 y^(2n)/sqrt(1-y^2) "d"y$
quindi la disuguaglianza è ovvia, no?
@pilloeffe: immagino che si usi quella stima proprio per evitare di fare quel conto con gli integrali di Wallis. Questione di gusti. C'è gente, come te, che ama molto questi conti, e c'è gente che li scansa come la peste.
Ciao dissonance,
A posteriori, visto anche il numero di messaggi, ritengo che l'OP faccia parte della seconda categoria che hai citato: quindi senz'altro avrà preferito la risposta che poi ha dato gugo82...
Ammetto che sia una mia fissazione: quando vedo un integrale faccio di tutto per riuscire a calcolarlo e probabilmente questo mi fa anche perdere di vista soluzioni più semplici ed eleganti...
A posteriori, visto anche il numero di messaggi, ritengo che l'OP faccia parte della seconda categoria che hai citato: quindi senz'altro avrà preferito la risposta che poi ha dato gugo82...
Ammetto che sia una mia fissazione: quando vedo un integrale faccio di tutto per riuscire a calcolarlo e probabilmente questo mi fa anche perdere di vista soluzioni più semplici ed eleganti...
"dissonance":
@pilloeffe: immagino che si usi quella stima proprio per evitare di fare quel conto con gli integrali di Wallis. Questione di gusti. C'è gente, come te, che ama molto questi conti, e c'è gente che li scansa come la peste.
Ma, secondo me, non si tratta di scansarli o di amarli... Il punto, almeno per me, è se c'è una strada semplice tra le tante possibili.
In questo caso, viene chiesto di confrontare due integrali.
La prima cosa che mi viene in mente è: "calcoliamoli e vediamo che succede".
Mettendo mano ai conti, vedo che l'integrale del coseno è difficile, quindi probabilmente non vale la pena impelagarsi lì dentro (o, detto meglio, sono calcoli che certamente si trovano in certa letteratura, quindi meglio fare un po' di ricerca bibliografica prima... E per me questa è l'ultima spiaggia quasi sempre!
Anche per questo non sono un buon ricercatore).Poi comincio a guardare meglio il problema e ciò che viene chiesto... La strada semplice per fare una cosa del genere sarebbe disegnare, ma gli integrali sono estesi ad intervalli differenti, quindi un approccio grafico non ha senso.
Ma allora è cosa buona e giusta provare un cambiamento di variabile che faccia coincidere gli intervalli base dei due integrali... Chiaramente, non vado a toccare il secondo integrale (perché, male che vada, quello so calcolarlo[nota]In realtà, in questo caso è lo stesso... Infatti, sostituendo $x = cos y$ nel secondo integrale si trova:
$int_0^1 x^(2n)\ "d" x = int_0^(pi/2) cos^2 y\ sin y\ "d" y$
e la disuguaglianza segue in maniera ugualmente semplice.[/nota]) e cerco di mettere mano nel primo. Visto che $cos^2$ è differenziabile e biiettiva da $[0,pi/2]$ in $[0,1]$, il primo cambiamento di variabile sensato che provo è $y = cos^2 x$.
Lo faccio e funziona!
Urrà (e non serve nemmeno il disegno... Che riportarlo con asvg sul forum è di una complicatezza estrema).
Ovviamente, so che questo modo di ragionare è simile al tuo, perché grossomodo abbiamo la stessa formazione; però un raccontino così esplicito può esser utile come canovaccio a Shikari per capire come affrontare problemi simili.
Bel raccontino, mi è proprio piaciuto. 
Ma sorvolo sul "non sono un buon ricercatore", lasciamo stare, va.
Comunque, dipende molto dalla persona. Ci sono gli amanti di questo genere di matematica esatta, classica, come per esempio l'amico pilloeffe qui. Io ho avuto a che fare con alcune persone così, nella ricerca. Per loro, calcolare esplicitamente quell'integrale di Wallis è la cosa più naturale possibile. Sono quelle persone che ti iniziano a parlare di funzioni generatrici, formule di ricorsione, funzioni ipergeometriche, e sono capaci di conti assurdi. A volte però risulta che quei conti erano inutili! Ma è sempre un bene avere qualche amico così
Ma sorvolo sul "non sono un buon ricercatore", lasciamo stare, va. Comunque, dipende molto dalla persona. Ci sono gli amanti di questo genere di matematica esatta, classica, come per esempio l'amico pilloeffe qui. Io ho avuto a che fare con alcune persone così, nella ricerca. Per loro, calcolare esplicitamente quell'integrale di Wallis è la cosa più naturale possibile. Sono quelle persone che ti iniziano a parlare di funzioni generatrici, formule di ricorsione, funzioni ipergeometriche, e sono capaci di conti assurdi. A volte però risulta che quei conti erano inutili! Ma è sempre un bene avere qualche amico così
"dissonance":
Bel raccontino, mi è proprio piaciuto.
Concordo, è piaciuto molto anche a me!
"dissonance":
Ma sorvolo sul "non sono un buon ricercatore", lasciamo stare, va.
Devo dire che questa affermazione di gugo82 ha colpito anche me, ma non tanto perché non credo che sia vero, quanto perché anche dando un'occhiata alle sue dispense, che ogni tanto lui stesso consiglia nelle risposte che fornisce agli utenti del forum, ero convintissimo che fosse già non dico professore ordinario, ma almeno associato sì, e già da qualche anno (almeno da quando ho iniziato a frequentare il forum...
)"dissonance":
Ma è sempre un bene avere qualche amico così
Grazie dissonance, lo prendo come un complimento...
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