Dimostrazione di una disequazione

[niccoset]

Nell'esame di analisi 1 era presente questa domanda:

Dimostrare che per ogni $\epsilon$ > 0 e per ogni a,b $in$ $RR$ si ha 2ab $<=$ $\epsilon$ $a^2$ + $1/ε$ $b^2$

[Gi81]

Bisogna sfruttare la seguente proprietà: $ 2xy<=x^2+y^2$, valida per ogni $x,y in RR$.

[niccoset]

io ho risolto con questa dimostrazione che penso sia corretta:
$ 2ab<=epsilon a^2+1/epsilonb^2 $
$ 2epsilonab<=epsilona^2+b^2 $
$ epsilona^2-2epsilonab+b^2>=0 $
$ (epsilona-b)^2>=0 $

quest'ultima è maggiore uguale a zero per ogni epsilon

[Quinzio]

Ok, anche se c'è un errore (che penso sia solo una questione grafica) che ho corretto qui sotto.

"niccoset":io ho risolto con questa dimostrazione che penso sia corretta:
$ 2ab<=epsilon a^2+1/epsilonb^2 $
$ 2epsilonab<=(\epsilon a)^2+b^2 $
$ (\epsilona)^2-2epsilonab+b^2>=0 $
$ (\epsilon a-b)^2>=0 $

quest'ultima è maggiore uguale a zero per ogni epsilon