Dimostrazione di un Teorema per la Funzioni Continue ed Iniettive

[mklplo751]

Salve,oggi volevo provare a dimostrare un altro teorema di Analisi 1,il cui enunciato è:"Se $f:RR->RR$ è una funzione continua,allora è iniettiva se e solo se è strettamente monotona".
Allora,la dimostrazione del fatto che se una funzione è strettamente monotona,allora è iniettiva,l'ho già fatta in un post precedente(usando le definizioni).Non mi resta che dimostrare che,una funzione continua è strettamente monotona se è iniettiva.Per far ciò ho proceduto così:
Per assurdo,se una funzione continua non è strettamente monotona,abbiamo:
\(\exists q \in \mathbb{R} \wedge \exists x_1,x_2 \in [a,b] \subset \mathbb{R} |x_10 \wedge f(x_2)-q<0 (f(x_1)-q<0 \wedge f(x_2)-q >0) \) ; inoltre \(\exists x_3 \in [b,c] \subset \mathbb{R} | x_20(f(x_3)-q <0)\).Da qui procedo con il teorema di Bolzano che mi assicura che \(\exists x_4 \in [x_1,x_2]:f(x_4)-q=0 \wedge \exists x_5 \in [x_2,x_3]:f(x_5)-q=0 \).Da ciò segue che cade l'iniettività contro l'ipotesi,il che è un assurdo.Quindi salvo errori(nel ragionamente,nello scrivere o di distrazione),la dimostrazione è conclusa.
Se non vi reca disturbo,qualcuno potrebbe dirmi,gentilmente che ne pensa?

[killing_buddha]

$f(x)=-x$.

[mklplo751]

Scusa,ma non capisco la risposta,se intendi dire che esistono funzioni iniettive non monotone strettamente crescenti,ti faccio notare che non ho posto la condizione di crescenza o di decrescenza;bensì quella di stretta monotonia.

[killing_buddha]

Quella funzione è continua (è un polinomio), iniettiva, ma non è monotona (è antitona: $0<1$ e tuttavia $-1<0$).

[mklplo751]

Scusa di nuovo,ma un a funzione non è monotono se e solo se $ \forall x_1,x_2 \in \mathbb{R}:x_1f(x_2))$.Che poi,non ho mai letto di funzioni antitone;sul libro vengono riportate solo quelle monotone(da quel che ricordo).

[killing_buddha]

Facciamolo su $RR$. Una funzione è monotona quando $x$.

[otta96]

Sinceramente questa notazione non l'avevo mai vista, molto più frequentemente si definiscono le funzioni crescenti e decrescenti (e la loro versione stretta) come killing_buddha ha fatto con (quelle che ha chiamato) le monotone e antitone, e poi si dice che una funzione è monotona (strettamente) se è crescente o decrescente (strettamente), penso che mklplo si riferisse a queste convenzioni.

[mklplo751]

"otta96": penso che mklplo si riferisse a queste convenzioni.

Infatti...
Usando questa definizione di monotonia,la dimostrazione va bene?