Dimostrazione di un teorema particolare
Salve a tutti. Mi sono imbattuto in questo teorema di cui non riesco a capire ne l'enunciato, ne tanto meno la dimostrazione.
Una funzione f(x) continua in [0, infinito), tale che f(x')>= 0 per qualche x'>= 0 e lim f(x) = 0 per x che tende più infinito assume il suo massimo in [0, infinito).
Credo sia un caso particolare del teorema di Weierstrass. Comunque, nel caso la funzione fosse crescente in qualche intervallo interno a [0, infinito), si avrebbe massimo perché la funzione risulta tendere a 0, per x che tende ad infinito, quindi deve sicuramente decrescere da un certo punto in poi. Però, nel caso fosse costante, o sempre decrescente (ipotesi verificate), dove assume il suo massimo? Come posso dimostrarlo? grazie anticipatamente
Una funzione f(x) continua in [0, infinito), tale che f(x')>= 0 per qualche x'>= 0 e lim f(x) = 0 per x che tende più infinito assume il suo massimo in [0, infinito).
Credo sia un caso particolare del teorema di Weierstrass. Comunque, nel caso la funzione fosse crescente in qualche intervallo interno a [0, infinito), si avrebbe massimo perché la funzione risulta tendere a 0, per x che tende ad infinito, quindi deve sicuramente decrescere da un certo punto in poi. Però, nel caso fosse costante, o sempre decrescente (ipotesi verificate), dove assume il suo massimo? Come posso dimostrarlo? grazie anticipatamente
Risposte
Innanzitutto, supponi che esista qualche \(x^\prime \in [0,\infty[\) tale che \(f(x^\prime) >0\).
Cosa succede se prendi \(\varepsilon = \frac{1}{3}\ f(x^\prime)\) nella definizione di limite?
Ti aiuta ciò ad escludere dei punti di \([0,\infty[\) tra i quali cercare i possibili punti di massimo?
Cosa succede se prendi \(\varepsilon = \frac{1}{3}\ f(x^\prime)\) nella definizione di limite?
Ti aiuta ciò ad escludere dei punti di \([0,\infty[\) tra i quali cercare i possibili punti di massimo?
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