Dimostrazione di un disequazione per induzione

[ilfumo]

Ciao a tutti avrei bisogno di una mano per la dimostrazione di questa equazione per induzione.

$ 1/2ln(n) <= 1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/n <= 1 + ln(n) $

Il suggerimento è $ (1 + 1/n)^(n+1) $ decresce verso e.

Io ho provato a fare così, almeno per la prima parte della disuguaglianza.

P(0) $ 1/2ln(0) <= 1 = 0<=1 $

P(n+1) $ 1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/n + 1/(n+1) >= 1/2ln(n+1) $

Essendo $ 1/(n+1)>0 $ provo così
$ 1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/n + 1/(n+1) >= 1/2ln(n) + 1/(n+1) >= 1/2ln(n) $

Potete dirmi se i passaggi fatti sono leciti oppure dovrei provare in un altro modo?
Grazie

[Gi81]

Poichè la successione $a_n:=(1+1/n)^(n+1)$ decresce verso $e$ e $a_1= 4$, si ha $e<=a_n<=4$ per ogni $n in NN$.

Da questo segue che $1/2 ln(n+1) <= 1/2 ln(n) +1/(n+1)$ (*)

Infatti quest'ultimo è equivalente a
$ln(n+1)-ln(n)<= 2/(n+1) <=> ln((n+1)/n) <= 2/(n+1) <=> (n+1) ln (1+1/n) <=2 <=>$
$<=> ln((1+1/n)^(n+1))<= 2 <=> (1+1/n)^(n+1)<= e^2 <=> a_n<7.38905...$
e quest'ultimo è vero, per quanto detto prima.

Ora possiamo dimostrare per induzione che

$1/2 ln(n) <= sum_{k=1}^n 1/k$ per ogni $n in NN$

Base: $n=1$. E' vera perchè $1/2 ln(1)=1$ e $sum_{k=1}^1 1/k =1$
Passo:
Ipotesi induttiva: $1/2 ln(n) <= sum_{k=1}^n 1/k$
Tesi induttiva: $1/2 ln(n+1) <= sum_{k=1}^(n+1) 1/k$

Partendo dall'ipotesi induttiva, sommando $1/(n+1)$ ad entrambi i membri, si ha
$ 1/2 ln(n) +1/(n+1)<= sum_{k=1}^(n+1) 1/k$
Poichè, per (*), vale $1/2 ln(n+1) <= 1/2 ln(n) +1/(n+1)$, si ha proprio la tesi induttiva.