Dimostrazione di sommatorie con il metodo delle proprietà delle sommatorie
Salve a tutti sto trovando difficoltà con quest'esercizio, in pratica fa parte degli esercizi in cui dovrei dimostrare le sommatorie tramite le loro proprietà e dei suggerimenti che mi pone il libro...ora vi metto tutto
espressione: $ \sum_(k=1)^\(n) k^2= (n(n+1)-(2n+1))/6$
suggerimento: $\sum_(k=0)^\(n) (k+1)^3= \sum_(k=0)^\(n) (k^3+3k^2+3k+1)=\sum_(k=1)^\(n)k^3+3 \sum_(k=1)^\(n) k^2+$...
D'altra parte,$ \sum_(k=0)^\(n) (k+1)^3= \sum_(k=1)^\(n+1)k^3 =\sum_(k=1)^\(n)k^3+ (n+1)^3$ . Dal confronto tra le due espressioni...
questo è tutto quello che dice l'esercizio, per caso potete darmi un mano perfavore?
espressione: $ \sum_(k=1)^\(n) k^2= (n(n+1)-(2n+1))/6$
suggerimento: $\sum_(k=0)^\(n) (k+1)^3= \sum_(k=0)^\(n) (k^3+3k^2+3k+1)=\sum_(k=1)^\(n)k^3+3 \sum_(k=1)^\(n) k^2+$...
D'altra parte,$ \sum_(k=0)^\(n) (k+1)^3= \sum_(k=1)^\(n+1)k^3 =\sum_(k=1)^\(n)k^3+ (n+1)^3$ . Dal confronto tra le due espressioni...
questo è tutto quello che dice l'esercizio, per caso potete darmi un mano perfavore?
Risposte
Ciao Galestix,
Innanzitutto c'è un errore, perché $\sum_{k=1}^{n} k^2= frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$
Nota che la sommatoria potrebbe anche partire da $k = 0$, perché il termine $0^2$ non dà alcun contributo.
Accogliendo il suggerimento, dal confronto fra le due espressioni si ha:
$\sum_{k = 1}^{n} k^3 + 3 \sum_{k = 1}^{n} k^2 + 3 \sum_{k = 1}^{n} k + \sum_{k = 0}^{n} 1 = \sum_{k = 1}^{n} k^3 + (n+1)^3$
cioè
$3 \sum_{k = 1}^{n} k^2 + 3 frac{n(n + 1)}{2} + n + 1 = (n+1)^3$
E quindi:
$3 \sum_{k = 1}^{n} k^2 = (n+1)^3 - 3 frac{n(n + 1)}{2} - (n + 1)$
Ora penso tu possa continuare da solo...
Innanzitutto c'è un errore, perché $\sum_{k=1}^{n} k^2= frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$
Nota che la sommatoria potrebbe anche partire da $k = 0$, perché il termine $0^2$ non dà alcun contributo.
Accogliendo il suggerimento, dal confronto fra le due espressioni si ha:
$\sum_{k = 1}^{n} k^3 + 3 \sum_{k = 1}^{n} k^2 + 3 \sum_{k = 1}^{n} k + \sum_{k = 0}^{n} 1 = \sum_{k = 1}^{n} k^3 + (n+1)^3$
cioè
$3 \sum_{k = 1}^{n} k^2 + 3 frac{n(n + 1)}{2} + n + 1 = (n+1)^3$
E quindi:
$3 \sum_{k = 1}^{n} k^2 = (n+1)^3 - 3 frac{n(n + 1)}{2} - (n + 1)$
Ora penso tu possa continuare da solo...
prima di tutto grazie per la risposta, non sapevo che per confrontarle dovevi mettere un espressione uguale all'altra, comunque non ho capito una cosa e se perfavore puoi spiegarmela....
$ \sum_{k = 1}^{n} k^3 + 3 \sum_{k = 1}^{n} k^2 + 3 \sum_{k = 1}^{n} k + \sum_{k = 0}^{n} 1$
come mai qui hai posto all'ultima sommatoria k=0 e non k=1 come a tutte le altre sommatorie? e poi sempre per la stessa sommatoria $\sum_{k = 0}^{n} 1$ per quale proprietà è diventata n+1?
comunque alla fine la soluzione che mi è venuta è questa... $6\sum_{k = 1}^{n} k^2=n(2n^2+6n-3n+1)$ sembra giusta...secondo te?
$ \sum_{k = 1}^{n} k^3 + 3 \sum_{k = 1}^{n} k^2 + 3 \sum_{k = 1}^{n} k + \sum_{k = 0}^{n} 1$
come mai qui hai posto all'ultima sommatoria k=0 e non k=1 come a tutte le altre sommatorie? e poi sempre per la stessa sommatoria $\sum_{k = 0}^{n} 1$ per quale proprietà è diventata n+1?
comunque alla fine la soluzione che mi è venuta è questa... $6\sum_{k = 1}^{n} k^2=n(2n^2+6n-3n+1)$ sembra giusta...secondo te?
Ciao Galestix,
Dunque, partiamo dagli indici di sommatoria: come vedi dal tuo suggerimento tutte quelle sommatorie vanno da $0$ a $n$, ma per le prime 3 farle partire da $0$ o da $1$ è indifferente, perché i termini $0^3$, $0^2$ e $0$ non danno alcun contributo alle rispettive sommatorie, per cui possiamo far partire l'indice da $1$. Non è così invece per la sommatoria col termine costante $1$, infatti si ha:
$\sum_{k=1}^{n} c = \underbrace{c + c + c + ... + c}_{n \text{ volte}} = c \cdot n = c \cdot (\text{numero di addendi della sommatoria})$
Nel caso particolare, ma che capita spesso, nel quale $c = 1$, si ha:
$\sum_{k=1}^{n} 1 = \underbrace{1 + 1 + 1 + ... + 1}_{n \text{ volte}} = 1 \cdot n = n$
Se invece la sommatoria parte da $k = 0$, si ha:
$\sum_{k=0}^{n} 1 = \underbrace{1 + 1 + 1 + ... + 1}_{(n + 1) \text{ volte}} = 1 \cdot (n + 1) = n + 1$
In generale si ha:
$\sum_{k=m}^{n} c = \underbrace{c + c + c + ... + c}_{(n - m + 1) \text{ volte}} = c \cdot (n - m + 1)$
Quindi è importante che nell'ultima sommatoria col termine costante $1$ l'indice $k$ vada da $0$ a $n$, altrimenti si altera il risultato.
Per quanto riguarda la soluzione, penso che tu ti stia complicando inutilmente la vita: raccogli $(n + 1)$ dall'ultima equazione che ti ho scritto nel mio post precedente e vedi cosa succede...
Dunque, partiamo dagli indici di sommatoria: come vedi dal tuo suggerimento tutte quelle sommatorie vanno da $0$ a $n$, ma per le prime 3 farle partire da $0$ o da $1$ è indifferente, perché i termini $0^3$, $0^2$ e $0$ non danno alcun contributo alle rispettive sommatorie, per cui possiamo far partire l'indice da $1$. Non è così invece per la sommatoria col termine costante $1$, infatti si ha:
$\sum_{k=1}^{n} c = \underbrace{c + c + c + ... + c}_{n \text{ volte}} = c \cdot n = c \cdot (\text{numero di addendi della sommatoria})$
Nel caso particolare, ma che capita spesso, nel quale $c = 1$, si ha:
$\sum_{k=1}^{n} 1 = \underbrace{1 + 1 + 1 + ... + 1}_{n \text{ volte}} = 1 \cdot n = n$
Se invece la sommatoria parte da $k = 0$, si ha:
$\sum_{k=0}^{n} 1 = \underbrace{1 + 1 + 1 + ... + 1}_{(n + 1) \text{ volte}} = 1 \cdot (n + 1) = n + 1$
In generale si ha:
$\sum_{k=m}^{n} c = \underbrace{c + c + c + ... + c}_{(n - m + 1) \text{ volte}} = c \cdot (n - m + 1)$
Quindi è importante che nell'ultima sommatoria col termine costante $1$ l'indice $k$ vada da $0$ a $n$, altrimenti si altera il risultato.
Per quanto riguarda la soluzione, penso che tu ti stia complicando inutilmente la vita: raccogli $(n + 1)$ dall'ultima equazione che ti ho scritto nel mio post precedente e vedi cosa succede...
prima di tutto grazie per la spiegazione, ora ho capito 
poi per la soluzione ho fatto come hai detto tu e viene così $n^3+3n^2/2+n/2= n(n^2+3n/2+1\/2)$ ora è giusta?
poi per la soluzione ho fatto come hai detto tu e viene così $n^3+3n^2/2+n/2= n(n^2+3n/2+1\/2)$ ora è giusta?
Sì, ma devi fare il denominatore comune, e poi ottieni un trinomio la cui scomposizione in fattori è un po' più complicata da vedere... Invece da
$3 \sum_{k = 1}^{n} k^2 = (n+1)^3 - 3 frac{n(n + 1)}{2} - (n + 1)$
raccogliendo $(n + 1)$ si ottiene
$3 \sum_{k = 1}^{n} k^2 = (n+1)[(n+1)^2 - 3 frac{n}{2} - 1] = (n+1)[n^2+2n + 1 - 3 frac{n}{2} - 1] = $
$ = (n+1)[n^2+2n - 3 frac{n}{2}] = n(n + 1)(n + 2 - frac{3}{2}) = n(n + 1)(n + frac{1}{2}) = frac{n(n + 1)(2n + 1)}{2}$
Dividendo tutto per 3 in definitiva si ottiene proprio
$\sum_{k=1}^{n} k^2= frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$
che era ciò che si voleva dimostrare. Naturalmente come ti dicevo si può fare anche a partire da quanto hai ottenuto tu:
$n^3+3n^2/2+n/2= n(n^2+3n/2+1/2) = n(frac{2n^2 + 3n + 1}{2})$
ma come ti dicevo è un po' più complicato vedere che $2n^2 + 3n + 1 = (n + 1)(2n +1)$.
$3 \sum_{k = 1}^{n} k^2 = (n+1)^3 - 3 frac{n(n + 1)}{2} - (n + 1)$
raccogliendo $(n + 1)$ si ottiene
$3 \sum_{k = 1}^{n} k^2 = (n+1)[(n+1)^2 - 3 frac{n}{2} - 1] = (n+1)[n^2+2n + 1 - 3 frac{n}{2} - 1] = $
$ = (n+1)[n^2+2n - 3 frac{n}{2}] = n(n + 1)(n + 2 - frac{3}{2}) = n(n + 1)(n + frac{1}{2}) = frac{n(n + 1)(2n + 1)}{2}$
Dividendo tutto per 3 in definitiva si ottiene proprio
$\sum_{k=1}^{n} k^2= frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$
che era ciò che si voleva dimostrare. Naturalmente come ti dicevo si può fare anche a partire da quanto hai ottenuto tu:
$n^3+3n^2/2+n/2= n(n^2+3n/2+1/2) = n(frac{2n^2 + 3n + 1}{2})$
ma come ti dicevo è un po' più complicato vedere che $2n^2 + 3n + 1 = (n + 1)(2n +1)$.
grazie mille per la dritta non avevo pensato di raccogliere anche n, così è molto più semplice!
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