Dimostrazione di insieme

[fabiolmessi]

spiegazione della seguente affermazione:
$ {x in R:arctan x studiando il dominio dell' $ arctan x $ = $ [-pi/2,+pi/2] $ quindi affermazione è vera.
non c'è un modo rigoroso per spiegarlo in modo tale che il prof capisca.

[dan952]

Prova a studiare il segno della funzione $f(x)=x-\arctan(x)$ attraverso la sua derivata prima, ovvero fai vedere che è monotona strettamente crescente, trova lo zero di $f$, se esiste, quel punto sarà l'estremo inferiore del tuo insieme.

Il dominio di $\arctan(x)$ è $RR$ e il suo codominio $(-\pi/2,+\pi/2)$

[fabiolmessi]

un metodo per fare questi esercizi non c'è???
si deve fare sempre la derivata??

[dan952]

Che io sappia non esiste un metodo vero e proprio, in generale per mostrare che un insieme è limitato superiormente (o inferiormente) basta che trovi almeno un maggiorante (o minorante).

[poll89]

beh, essendo $arctan(x) > -pi/2 AA x in RR$ allora $x=-pi/2$ è già un minorante, quindi l'insieme è limitato.

[fabiolmessi]

in generale per trovare la soluzione non basta vedere il dominio della funzione??

[poll89]

e ci risiamo. Fabio, ti ho già detto e ripetuto in un paio di altri post che in questo tipo di esercizi ciò che conta è il codominio della funzione, che è diverso dal dominio. Il codominio di $arctan(x)$ è noto, con 5 minuti di studio e comprensione sapresti risolvere da solo questo esercizio. Almeno leggi i concetti prima di postare a raffica esercizi tutti uguali come stai facendo in questi giorni, altrimenti perdi solo tempo, dico davvero, ci sono passato anche io.

E poi un'altra cosa: la matematica non si impara a memoria come le poesie delle elementari, davanti alla verifica non puoi dire "ah questo è l'esercizio che è a pagina 92" e ricopiare quello che hai imparato a memoria la sera prima. Smettila quindi di cercare un metodo magico per risolvere gli esercizi. Cerca invece di capire i concetti che questi esercizi tirano in ballo, a quel punto ti verranno facili, non importa quanti ce ne siano.

[dissonance]

"poll89":e ci risiamo. Fabio, ti ho già detto e ripetuto in un paio di altri post che in questo tipo di esercizi ciò che conta è il codominio[\b] della funzione, che è diverso dal dominio.

Sono d'accordo con tutto il resto del tuo post, ma non con questa affermazione. Un insieme di questa forma:
\[
A=\{x\ :\ f(x)\ \text{verifica una certa proprietà}\}\]
è implicitamente contenuto nel dominio di $f$. Quindi, parafrasando quanto dici tu, il dominio "conta". Che poi nel caso dell'arcotangente la cosa non significhi niente, perché essa è definita ovunque, è un altro paio di maniche e rientra nella parte del tuo post con cui io sono d'accordo.

[poll89]

Beh si, infatti non ho detto "il dominio non c'entra nulla", però in questo esercizio la proprietà da soddisfare è una condizione di limitatezza sul codominio. Ovviamente poi ci si riconduce al dominio, ma non è sufficiente studiare solo il dominio di f per esprimere l'insieme esplicitamente.

[ot]Dagli altri suoi post avevo capito che fabio non sapesse la differenza tra dominio e codominio ed ho tentato di spiegargliela o almeno di spingerlo a guardarsela da sè. Quando ha scritto

"fabiolmessi":in generale per trovare la soluzione non basta vedere il dominio della funzione??

ho capito di aver solo sprecato tempo e che non vuole imparare nulla, solo trovare le formulette magiche per risolvere gli esercizi. Magari lasciandolo senza risposte sarà costretto a guardarsi i concetti base.[/ot]