Dimostrazione di funzione continua tra due spazi metrici.

[Pasquale 90]

Buongiorno, ho un esempio dove dimostra la continuità di

$I:f in bar(C)(a,b) to I(f)=int_a^b f(x) dx in RR $

con $bar(C)(a,b)$ insieme delle funzioni assolutamenti integrabili, inoltre $RR$ è dotato della metrica usuale
invece, $bar(C)$ dotato della metrica

$d_(bar(C))(f,g)=int_a^b |f(x)-g(x)| dx $

Ricordo la definizione di funzione continua tra due spazi metrici :
$F :X to Y$ continua in $x_0 in X$ se fissato $epsilon >0$ è possibile determinare un $delta=delta(x_0, epsilon)$ tale che

$d_Y(F(x),F(x_0))< epsilon \qquad\qquad \ mbox{se}\qquad d_X(x,x_0)

Viene riportato

$|I(f)-I(g)| = |int_a^b f(x)-g(x)| dx le int_a^b |f(x)-g(x)| dx $

quindi in sintesi

$d_(RR)(I(f),I(g)) le d_(bar(C))(f,g).$

pertanto $I$ è continua. Il problema è che non riesco a capirne il perchè.

Mi sono dato una risposta cioè posso dire necessariamente

$d_(RR)(I(f),I(g)) le d_(bar(C))(f,g) le (b-a)mbox{sup}_{(a,b)}|f-g|.$

In tal caso posso prendere $epsilon > (b-a)mbox{sup}_{(a,b)}|f-g|$,
quindi si ha

$d_(RR)(I(f),I(g))

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Risposte

otta96

25 feb 2021, 12:30

Oppure, più semplicemente prendendo $\delta=\epsilon$ hai: se $d_\bar{C}(f,g) Più in generale c'è una condizione che si chiama lipschitzianità che vale se $d_Y(F(x),F(y))<=kd_X(x,y)$, per ogni $x,y\in X$ e per una costante $k>0$. Se vale questa condizione puoi verificare che $F$ è continua in un qualsiasi punto prendendo $\delta=\epsilon/k$.

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Pasquale 90

25 feb 2021, 14:10

Grazie, nel messaggio precedente il $delta=(b-a)mbox{sup}_{(b-a)}|f-g|.$
Comunque ha senso chiedersi : se $epsilon < delta$ cosa succede; in tal caso direi che si ha sempre

$d_(RR)(I(f),I(g)) < epsilon$ se $d_(bar(C))(f,g) < delta$

a maggior ragione, essendo verificato precedentemente per un $delta$ più "piccolo".
Invece

"otta96":Più in generale c'è una condizione che si chiama lipschitzianità che vale se $ d_Y(F(x),F(y))<=kd_X(x,y) $, per ogni $ x,y\in X $ e per una costante $ k>0 $. Se vale questa condizione puoi verificare che $ F $ è continua in un qualsiasi punto prendendo $ \delta=\epsilon/k $.

tra qualche pagina arrivo a questo argomento quando ci arriverò lo terrò in mente.

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otta96

25 feb 2021, 14:36

Si si, puoi prendere anche $\delta<\epsilon$.

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Pasquale 90

25 feb 2021, 14:40

Ok grazie.

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vict85

25 feb 2021, 15:16

Detto in maniera più generale, dire che \[\forall x_0, x_1\in X,\; d_Y\bigr( f(x_0), f(x_1) \bigr) \le d_X( x_0, x_1 )\] è equivalente a dire che \[\forall x \in X,\,\forall r\in \mathbb{R},\;f\bigl(B_X(x,r)\bigr) \subseteq B_Y\bigl(f(x),r\bigr)\;.\]
Ti invito a ragionarci sopra.

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Pasquale 90

26 feb 2021, 07:49

Ciao vict85, ho provato a dimostrare cosi:

siano $(X,d_X),(Y,d_y)$ due spazi metrici, inoltre
$B_X(x,r)={a in X: d_X(a,x) $B_Y(f(x),r)={b in Y : d_Y(f(x),b) $f:X to Y$ applicazione.

Implicazione da destra verso sinistra:
per assurdo $exists x_0, x_1 in X$ tali che $d_X(x_0,x_1) dunque esiste $a in f(B_X(x,r))$ tale che $a notin B_Y(f(x),r). $

Implicazione da sinistra verso destra:
$a in f(B_X(x,r)) $ per definizione, esiste $bar{a} in B_X(x,r) $ tale che $a=f(bar{a}).$
Da $bar{a} in B_X(x,r) $ per definizione, $d_X(x,bar{a}) Dall'ipotesi segue $d_X(x,bar{a}) ge d_Y(f(x),f(bar{a}))=d_Y(f(x),a)$
dunque, $d_Y(f(x),a)
Va bene ?

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vict85

26 feb 2021, 14:52

Dovresti cercare di essere più preciso: tiri fuori lettere che non hai definito prima. Inoltre il tuo sinistra e destra sono al contrario di come li avrei definite io.

Veniamo quindi a (a) \(\forall x_0, x_1\in X,\; d_Y\bigr( f(x_0), f(x_1) \bigr) \le d_X( x_0, x_1 ) \) implica (b) \( \forall x \in X,\,\forall r\in \mathbb{R},\;f\bigl(B_X(x,r)\bigr) \subseteq B_Y\bigl(f(x),r\bigr) \).

La tua dimostrazione è la seguente:

"Pasquale 90":$a in f(B_X(x,r)) $ per definizione, esiste $bar{a} in B_X(x,r) $ tale che $a=f(bar{a}).$
Da $bar{a} in B_X(x,r) $ per definizione, $d_X(x,bar{a}) Dall'ipotesi segue $d_X(x,bar{a}) ge d_Y(f(x),f(bar{a}))=d_Y(f(x),a)$
dunque, $d_Y(f(x),a)
La dimostrazione è corretta, ma dovresti fare più attenzione al linguaggio. Io per esempio lo avrei detto così:
Supponiamo valga (a). Siano \(x\in X\), \(r\in \mathbb{R}\), \(\bar{a}\in B_X(x,r)\) e \(a=f(\bar{a})\). Per la definizione di \(B_X(x,r)\), \(d_X(\bar{a}, x) < r\). Per (a), si ha inoltre che \(r > d_X(\bar{a}, x) \ge d_Y(a, f(x))\), ovvero \(a\in B_Y(f(x),r)\). Per la generalità delle scelte di \(x\), \(\bar{a}\) e \(r\), deve valere (b).


Per l'implementazione di (b) => (a), hai scritto:

"Pasquale 90":
per assurdo $exists x_0, x_1 in X$ tali che $d_X(x_0,x_1) dunque esiste $a in f(B_X(x,r))$ tale che $a notin B_Y(f(x),r). $

ma non si capisce bene cosa vuoi dire. In particolare, non puoi usare delle variabili senza averle definite. Se ho capito bene quello che vuoi fare, hai prima supposto che valga (b) e che, per assurdo, esistano \(x_0, x_1\in X\) tali che \(d_X(x_0,x_1)
Finché scrivi sul forum non importa, ma la correttezza formale può influire molto sul tuo voto di laurea. Quindi dovresti abituarti a farci più attenzione.

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Pasquale 90

28 feb 2021, 10:03

Grazie vict85 per i consigli.
Però qui mi sa troppo di informatica

"vict85":In particolare, non puoi usare delle variabili senza averle definite.

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vict85

28 feb 2021, 22:49

Il termine simbolo era più corretto in effetti.

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[otta96]

Oppure, più semplicemente prendendo $\delta=\epsilon$ hai: se $d_\bar{C}(f,g) Più in generale c'è una condizione che si chiama lipschitzianità che vale se $d_Y(F(x),F(y))<=kd_X(x,y)$, per ogni $x,y\in X$ e per una costante $k>0$. Se vale questa condizione puoi verificare che $F$ è continua in un qualsiasi punto prendendo $\delta=\epsilon/k$.

[Pasquale 90]

Grazie, nel messaggio precedente il $delta=(b-a)mbox{sup}_{(b-a)}|f-g|.$
Comunque ha senso chiedersi : se $epsilon < delta$ cosa succede; in tal caso direi che si ha sempre

$d_(RR)(I(f),I(g)) < epsilon$ se $d_(bar(C))(f,g) < delta$

a maggior ragione, essendo verificato precedentemente per un $delta$ più "piccolo".
Invece

"otta96":Più in generale c'è una condizione che si chiama lipschitzianità che vale se $ d_Y(F(x),F(y))<=kd_X(x,y) $, per ogni $ x,y\in X $ e per una costante $ k>0 $. Se vale questa condizione puoi verificare che $ F $ è continua in un qualsiasi punto prendendo $ \delta=\epsilon/k $.

tra qualche pagina arrivo a questo argomento quando ci arriverò lo terrò in mente.

[otta96]

Si si, puoi prendere anche $\delta<\epsilon$.

[Pasquale 90]

Ok grazie.

[vict85]

Detto in maniera più generale, dire che \[\forall x_0, x_1\in X,\; d_Y\bigr( f(x_0), f(x_1) \bigr) \le d_X( x_0, x_1 )\] è equivalente a dire che \[\forall x \in X,\,\forall r\in \mathbb{R},\;f\bigl(B_X(x,r)\bigr) \subseteq B_Y\bigl(f(x),r\bigr)\;.\]
Ti invito a ragionarci sopra.

[Pasquale 90]

Ciao vict85, ho provato a dimostrare cosi:

siano $(X,d_X),(Y,d_y)$ due spazi metrici, inoltre
$B_X(x,r)={a in X: d_X(a,x) $B_Y(f(x),r)={b in Y : d_Y(f(x),b) $f:X to Y$ applicazione.

Implicazione da destra verso sinistra:
per assurdo $exists x_0, x_1 in X$ tali che $d_X(x_0,x_1) dunque esiste $a in f(B_X(x,r))$ tale che $a notin B_Y(f(x),r). $

Implicazione da sinistra verso destra:
$a in f(B_X(x,r)) $ per definizione, esiste $bar{a} in B_X(x,r) $ tale che $a=f(bar{a}).$
Da $bar{a} in B_X(x,r) $ per definizione, $d_X(x,bar{a}) Dall'ipotesi segue $d_X(x,bar{a}) ge d_Y(f(x),f(bar{a}))=d_Y(f(x),a)$
dunque, $d_Y(f(x),a)
Va bene ?

[vict85]

Dovresti cercare di essere più preciso: tiri fuori lettere che non hai definito prima. Inoltre il tuo sinistra e destra sono al contrario di come li avrei definite io.

Veniamo quindi a (a) \(\forall x_0, x_1\in X,\; d_Y\bigr( f(x_0), f(x_1) \bigr) \le d_X( x_0, x_1 ) \) implica (b) \( \forall x \in X,\,\forall r\in \mathbb{R},\;f\bigl(B_X(x,r)\bigr) \subseteq B_Y\bigl(f(x),r\bigr) \).

La tua dimostrazione è la seguente:

"Pasquale 90":$a in f(B_X(x,r)) $ per definizione, esiste $bar{a} in B_X(x,r) $ tale che $a=f(bar{a}).$
Da $bar{a} in B_X(x,r) $ per definizione, $d_X(x,bar{a}) Dall'ipotesi segue $d_X(x,bar{a}) ge d_Y(f(x),f(bar{a}))=d_Y(f(x),a)$
dunque, $d_Y(f(x),a)
La dimostrazione è corretta, ma dovresti fare più attenzione al linguaggio. Io per esempio lo avrei detto così:
Supponiamo valga (a). Siano \(x\in X\), \(r\in \mathbb{R}\), \(\bar{a}\in B_X(x,r)\) e \(a=f(\bar{a})\). Per la definizione di \(B_X(x,r)\), \(d_X(\bar{a}, x) < r\). Per (a), si ha inoltre che \(r > d_X(\bar{a}, x) \ge d_Y(a, f(x))\), ovvero \(a\in B_Y(f(x),r)\). Per la generalità delle scelte di \(x\), \(\bar{a}\) e \(r\), deve valere (b).


Per l'implementazione di (b) => (a), hai scritto:

"Pasquale 90":
per assurdo $exists x_0, x_1 in X$ tali che $d_X(x_0,x_1) dunque esiste $a in f(B_X(x,r))$ tale che $a notin B_Y(f(x),r). $

ma non si capisce bene cosa vuoi dire. In particolare, non puoi usare delle variabili senza averle definite. Se ho capito bene quello che vuoi fare, hai prima supposto che valga (b) e che, per assurdo, esistano \(x_0, x_1\in X\) tali che \(d_X(x_0,x_1)
Finché scrivi sul forum non importa, ma la correttezza formale può influire molto sul tuo voto di laurea. Quindi dovresti abituarti a farci più attenzione.

[Pasquale 90]

Grazie vict85 per i consigli.
Però qui mi sa troppo di informatica

"vict85":In particolare, non puoi usare delle variabili senza averle definite.

[vict85]

Il termine simbolo era più corretto in effetti.