Dimostrazione di completezza di spazi normati
Diciamo che la domanda sta tutta nell'oggetto 
...
Mi chiedevo se esiste un procedimento standard per dimostrare la completezza di spazi vettoriali secondo una particolare norma (o secondo una qualsiasi, nel caso finito dimensionale). Dovrei sostenere l'esame di Complementi d'Analisi - studio Ingegneria Informatica - che riguarda spazi normati, metrici, topologici, integrazione secondo Lebesgue, equazioni differenziali e problemi di Sturm-Liouville. Spesso negli esercizi mi imbatto in richieste del tipo "dimostrare che lo spazio X con la norma N non è di Banach", che in effetti non richiede particolari conoscenze se non l'individuazione di una successione di Cauchy convergente ad un elemento non appartenente a X, ma nel caso in cui dovessi dimostrare la completezza di un tale spazio, non saprei proprio come procedere!
Nelle dispense e nel libro di riferimento non ho trovato niente che potrebbe aiutarmi, se non la dimostrazione che Lp è completo rispetto alla norma Nlp (teorema di Riesz-Fischer). Potreste per favore aiutarmi?
In particolare, sarei interessato alla completezza di C([a,b],R) rispetto alla norma infinito, Ck([a,b],R) rispetto alla norma k, e R^n rispetto a una norma qualunque (anche se in questo caso, forse, riesco ad intuirlo...).
Vi ringrazio per l'attenzione e vi chiedo scusa per la prolissità.
PS La questione che vi pongo riguarda più che altro l'analisi funzionale, spero comunque di aver "indovinato" la sezione!
...Mi chiedevo se esiste un procedimento standard per dimostrare la completezza di spazi vettoriali secondo una particolare norma (o secondo una qualsiasi, nel caso finito dimensionale). Dovrei sostenere l'esame di Complementi d'Analisi - studio Ingegneria Informatica - che riguarda spazi normati, metrici, topologici, integrazione secondo Lebesgue, equazioni differenziali e problemi di Sturm-Liouville. Spesso negli esercizi mi imbatto in richieste del tipo "dimostrare che lo spazio X con la norma N non è di Banach", che in effetti non richiede particolari conoscenze se non l'individuazione di una successione di Cauchy convergente ad un elemento non appartenente a X, ma nel caso in cui dovessi dimostrare la completezza di un tale spazio, non saprei proprio come procedere!
Nelle dispense e nel libro di riferimento non ho trovato niente che potrebbe aiutarmi, se non la dimostrazione che Lp è completo rispetto alla norma Nlp (teorema di Riesz-Fischer). Potreste per favore aiutarmi?
In particolare, sarei interessato alla completezza di C([a,b],R) rispetto alla norma infinito, Ck([a,b],R) rispetto alla norma k, e R^n rispetto a una norma qualunque (anche se in questo caso, forse, riesco ad intuirlo...).
Vi ringrazio per l'attenzione e vi chiedo scusa per la prolissità.
PS La questione che vi pongo riguarda più che altro l'analisi funzionale, spero comunque di aver "indovinato" la sezione!
Risposte
Studi per caso a Napoli con il prof. Greco? Comunque, per dimostrare una cosa del genere non è che ci siano grandi teoremi. Prendi una successione di Cauchy e verifica che esiste un elemento dello spazio a cui essa converge. Per esempio prendiamo $C[a,b]$. Una successione di Cauchy è una successione di funzioni che verifica la condizione di Cauchy uniforme. In particolare essa converge puntualmente ad una funzione $f$, e con un po' di passaggi si vede facilmente che la convergenza è uniforme: quindi $f$ è una funzione continua e la successione di Cauchy converge ad essa rispetto alla norma dello spazio in questione, che quindi è completo.
Un teorema per la verità c'è, ma non è proprio indispensabile: uno spazio nomato $(E, ||*||)$ è completo se e solo se le serie convergenti in norma sono convergenti, ovvero
$(\sum ||x_n|| < infty) => (\sum x_n\ "è convergente")$.
Ma insomma, non è un teorema fondamentale, puoi anche lasciarlo perdere.
Un teorema per la verità c'è, ma non è proprio indispensabile: uno spazio nomato $(E, ||*||)$ è completo se e solo se le serie convergenti in norma sono convergenti, ovvero
$(\sum ||x_n|| < infty) => (\sum x_n\ "è convergente")$.
Ma insomma, non è un teorema fondamentale, puoi anche lasciarlo perdere.
No, "purtroppo" studio a Siena
Grazie tante per la risposta. Effettivamente, nel caso che ti ho posto non è che fosse troppo difficile dimostrare la continuità della funzione limite! Io ho pensato a questa dimostrazione:
Sia $\{f_n(x)\}$ una successione di Cauchy di funzioni continue tendente a $f(x)$ nella norma $|| * ||_{\infty}$ e siano $x$ e $x_0$ due punti "arbitrariamente" vicini, diciamo t.c. $||x - x_0||_{\infty} \leq \delta $. Allora:
$ ||f(x) - f(x_0)||_{\infty} = ||f(x) - f_n(x) + f_n(x) - f_n(x_0) + f_n(x_0) - f(x_0)||_{\infty} \leq ||f(x) - f_n(x)||_{\infty} + ||f_n(x) - f_n(x_0)||_{\infty} + ||f_n(x_0) - f(x_0)||_{\infty} $
Il primo e il terzo addendo saranno, diciamo, $ < \frac{\epsilon}{3}$ a causa della convergenza, mentre il secondo lo sarà a causa della continuità. Dunque, infine si avrà $||f(x) - f(x_0)||_{\infty} \leq \epsilon$ ovvero $f(x)$ continua!
Nel caso di spazi $C^k([a,b])$, basta usare la norma $||*||_k$ e includere anche le derivate nella dimostrazione.
Insomma, mi ero perso in un bicchiere d'acqua...
Di nuovo, grazie per la risposta.
Grazie tante per la risposta. Effettivamente, nel caso che ti ho posto non è che fosse troppo difficile dimostrare la continuità della funzione limite! Io ho pensato a questa dimostrazione:
Sia $\{f_n(x)\}$ una successione di Cauchy di funzioni continue tendente a $f(x)$ nella norma $|| * ||_{\infty}$ e siano $x$ e $x_0$ due punti "arbitrariamente" vicini, diciamo t.c. $||x - x_0||_{\infty} \leq \delta $. Allora:
$ ||f(x) - f(x_0)||_{\infty} = ||f(x) - f_n(x) + f_n(x) - f_n(x_0) + f_n(x_0) - f(x_0)||_{\infty} \leq ||f(x) - f_n(x)||_{\infty} + ||f_n(x) - f_n(x_0)||_{\infty} + ||f_n(x_0) - f(x_0)||_{\infty} $
Il primo e il terzo addendo saranno, diciamo, $ < \frac{\epsilon}{3}$ a causa della convergenza, mentre il secondo lo sarà a causa della continuità. Dunque, infine si avrà $||f(x) - f(x_0)||_{\infty} \leq \epsilon$ ovvero $f(x)$ continua!
Nel caso di spazi $C^k([a,b])$, basta usare la norma $||*||_k$ e includere anche le derivate nella dimostrazione.
Insomma, mi ero perso in un bicchiere d'acqua...
Di nuovo, grazie per la risposta.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo