Dimostrazione di analisi matematica (somma tra numeri reali)
Gentilissimi utenti del forum,
studio amatorialmente analisi matematica e, avendo sempre operato seguendo formule o algoritmi, mi trovo in difficoltà con tutto il meccanismo delle dimostrazioni.
Ovviamente seguo abbastanza bene le dimostrazioni di libri e docenti, ma se devo farne una io mi perdo.
Ora vorrei dimostrare che [numero razionale] + [numero irrazionale] = [numero irrazionale]
Il mio ragionamento è che:
\(\displaystyle [numero\ razionale] = q.c_1c_2c_3c_n \)
Dove \(\displaystyle n \) è un numero finito oppure la successione è periodica, mentre
\(\displaystyle [numero\ irrazionale] = q.c_1c_2c_3c_k \)
Dove \(\displaystyle k \) è un numero infinito e la successione è non periodica
Quindi deduco che sommando queste due tipologie di numeri, il risultato erediterà la parte irrazionale.
Capisco che non è formale come dimostrazione e anzi è solo una intuizione, per cui vi chiedo come posso migliorare sia questo problema che, in generale, la mia attitudine alle dimostrazioni.
Vi ringrazio già moltissimo per l'attenzione alla mia questione.
Saluti.
studio amatorialmente analisi matematica e, avendo sempre operato seguendo formule o algoritmi, mi trovo in difficoltà con tutto il meccanismo delle dimostrazioni.
Ovviamente seguo abbastanza bene le dimostrazioni di libri e docenti, ma se devo farne una io mi perdo.
Ora vorrei dimostrare che [numero razionale] + [numero irrazionale] = [numero irrazionale]
Il mio ragionamento è che:
\(\displaystyle [numero\ razionale] = q.c_1c_2c_3c_n \)
Dove \(\displaystyle n \) è un numero finito oppure la successione è periodica, mentre
\(\displaystyle [numero\ irrazionale] = q.c_1c_2c_3c_k \)
Dove \(\displaystyle k \) è un numero infinito e la successione è non periodica
Quindi deduco che sommando queste due tipologie di numeri, il risultato erediterà la parte irrazionale.
Capisco che non è formale come dimostrazione e anzi è solo una intuizione, per cui vi chiedo come posso migliorare sia questo problema che, in generale, la mia attitudine alle dimostrazioni.
Vi ringrazio già moltissimo per l'attenzione alla mia questione.
Saluti.
Risposte
Forse ti conviene partire dal fatto che la somma (o differenza) di due razionali è un razionale.
A questo punto, se nella relazione da te scritta supponi per assurdo che il secondo membro sia razionale...
A questo punto, se nella relazione da te scritta supponi per assurdo che il secondo membro sia razionale...
Io penso che a parte quelle strettamente rigorose, tipo le dimostrazioni legate al calcolo differenziale, poi tutte le altre danno abbastanza spazio di manovra.
Io lo dimostrerei così.
sia $a=a_0+a_1+a_2+...+a_k$ un numero razionale tale che $kinZ$ finito e $b=b_0+b_1+b_2+...+b_n$ un numero irrazionale tale $n->+infty$ allora $a+b$ è irrazionale.
$a+b=(a_0+b_0)+(a_1+b_1)+(a_2+b_2)+...+(a_k+b_k)+b_(k+1)+...+b_n$
dopo $k$ termini, la somma continua all'infinito con la sua bella mancanza di periodicità, quindi $a+b$ è irrazionale.
Io lo dimostrerei così.
sia $a=a_0+a_1+a_2+...+a_k$ un numero razionale tale che $kinZ$ finito e $b=b_0+b_1+b_2+...+b_n$ un numero irrazionale tale $n->+infty$ allora $a+b$ è irrazionale.
$a+b=(a_0+b_0)+(a_1+b_1)+(a_2+b_2)+...+(a_k+b_k)+b_(k+1)+...+b_n$
dopo $k$ termini, la somma continua all'infinito con la sua bella mancanza di periodicità, quindi $a+b$ è irrazionale.
Innanzitutto grazie mille per le risposte!
Mi trovo molto con il ragionamento di anto_zoolander e, anche se non ho forse saputo scriverlo formalmente, è quello che ho cercato di spiegare anch'io.
Mi interessa molto anche l'impostazione di Rigel ma non ho ben capito come proseguire. Non sono affatto bravo a fare queste dimostrazioni e credo che l'unico modo sia continuare a cercare di farle. Solo che mi riescono male...
Grazie ancora!
Mi trovo molto con il ragionamento di anto_zoolander e, anche se non ho forse saputo scriverlo formalmente, è quello che ho cercato di spiegare anch'io.
Mi interessa molto anche l'impostazione di Rigel ma non ho ben capito come proseguire. Non sono affatto bravo a fare queste dimostrazioni e credo che l'unico modo sia continuare a cercare di farle. Solo che mi riescono male...
Grazie ancora!
"ildecarlo":
Innanzitutto grazie mille per le risposte!
figurati, un piacere.
"ildecarlo":
Mi interessa molto anche l'impostazione di Rigel ma non ho ben capito come proseguire. Non sono affatto bravo a fare queste dimostrazioni e credo che l'unico modo sia continuare a cercare di farle. Solo che mi riescono male...
Il ragionamento di Rigel va in verso opposto al mio. Mentre io da una ipotesi cerco di arrivare direttamente alla tesi, lui ha proposto il ragionamento per assurdo. Ovvero neghi la tesi, e dici che quindi $a+b=p/q$, $qne0$ ovvero che la somma di un razionale ed un irrazionale dia un numero razionale. E cerchi di ricondurti ad un assurdo, quindi ottieni una contraddizione giungendo al fatto che è sbagliato considerare falsa la tesi. Quindi puoi considerarla vera.
consideriamo $p,qinZ$ primi tra loro e $qne0$, $a$ razionale e $b$ irrazionale.
$a+b=p/q => b=p/q-a => qb=p-aq => overbrace{b+b+b+...+b}^q=p-aq$ la somma di irrazionali è un numero irrazionale, dall'altra parte c'è la differenza tra un intero $p$ ed il prodotto tra un intero $q$ ed un numero razionale $a$, che può essere o meno un razionale $a$. Qualunque sia il caso questa differenza può dare un numero intero o razionale, quindi si avrebbe irrazionale$=$razionale(o intero) che è una contraddizione.
Più semplicemente, dati \(p\) razionale e \(x\) irrazionale, supponiamo per assurdo che la loro somma sia un numero razionale \(q\):
\[
p + x = q, \qquad p, q\in \mathbb{Q}, \ x\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}.
\]
D'altra parte \(x = p-q\) è razionale, dal momento che la differenza di due numeri razionali è razionale. Da qui l'assurdo.
\[
p + x = q, \qquad p, q\in \mathbb{Q}, \ x\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}.
\]
D'altra parte \(x = p-q\) è razionale, dal momento che la differenza di due numeri razionali è razionale. Da qui l'assurdo.
Vi ringrazio nuovamente per la pazienza!
Vorrei migliorare le mie capacità in questo tipo di esercizi, ma credo che l'unica è seguire libri e prof e provare. Spero di riuscire presto a fare dei ragionamenti come i vostri.
Saluti!
Vorrei migliorare le mie capacità in questo tipo di esercizi, ma credo che l'unica è seguire libri e prof e provare. Spero di riuscire presto a fare dei ragionamenti come i vostri.
Saluti!
Non so quanto ti potrà essere utile però dai un'occhiata qui.
È un corso di algebra lineare ma il link che ti ho scritto riguarda un capitolo specifico sulle tecniche per "provare" teoremi e quant'altro ...
Cordialmente, Alex
È un corso di algebra lineare ma il link che ti ho scritto riguarda un capitolo specifico sulle tecniche per "provare" teoremi e quant'altro ...
Cordialmente, Alex
@ ildecarlo:
L'idea della dimostrazione è questa.
Chiamiamo $p$ il numero razionale ed $\alpha$ il numero irrazionale scelti; inoltre denotiamo con $\Delta$ la somma $p+\alpha$, cioè poniamo $\Delta := p + \alpha$.
Per assurdo, supponiamo che $\Delta$ non sia irrazionale; allora $\Delta$ è ovviamente un numero razionale ed è anche tale che $\alpha = \Delta -p$ (come si ricava dagli assiomi di campo).
Dato che la differenza di due numeri razionali è a sua volta un numero razionale[nota]Qui assumo che ciò sia noto (come dovrebbe) dalle scuole secondarie.[/nota], l'uguaglianza $\alpha = \Delta -p$ implica che $\alpha$ è razionale, ma ciò è assurdo poichè contro l'ipotesi.
Pertanto, $\Delta = p+ \alpha$ è necessariamente irrazionale. \(\square\)
@ axpgn: Simpatico il link.
"ildecarlo":
Mi interessa molto anche l'impostazione di Rigel ma non ho ben capito come proseguire. Non sono affatto bravo a fare queste dimostrazioni e credo che l'unico modo sia continuare a cercare di farle. Solo che mi riescono male...
L'idea della dimostrazione è questa.
Chiamiamo $p$ il numero razionale ed $\alpha$ il numero irrazionale scelti; inoltre denotiamo con $\Delta$ la somma $p+\alpha$, cioè poniamo $\Delta := p + \alpha$.
Per assurdo, supponiamo che $\Delta$ non sia irrazionale; allora $\Delta$ è ovviamente un numero razionale ed è anche tale che $\alpha = \Delta -p$ (come si ricava dagli assiomi di campo).
Dato che la differenza di due numeri razionali è a sua volta un numero razionale[nota]Qui assumo che ciò sia noto (come dovrebbe) dalle scuole secondarie.[/nota], l'uguaglianza $\alpha = \Delta -p$ implica che $\alpha$ è razionale, ma ciò è assurdo poichè contro l'ipotesi.
Pertanto, $\Delta = p+ \alpha$ è necessariamente irrazionale. \(\square\)
@ axpgn: Simpatico il link.
Grazie ancora per i chiarimenti! Siete sempre così gentili. Ora mi metto a leggere il link offerto dal buon axpgn 
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