Dimostrazione derivata $x^\alpha$ (+ chiarimento dubbi)
Cito testualmente da wikipedia la dimostrazione che $D(x^\alpha) = \alpha x^(\alpha-1), \alpha in RR$:
Ma appena ho letto ho notato che qualcosa non mi quadrava, ovvero: questo ragionamento non dovrebbe essere corretto solo per le $x$ positive?
Infatti se $x>0$, allora possiamo dire che $x = e^ln(x)$, ma se $x$ fosse negativo? $ln(x)$ non avrebbe senso...
Quindi come posso essere certo che, per esempio, se $f(x) = x^(-2/3)$, $f'(-8) = 64/3$ ? [1]
E se invece la derivata non fosse nemmeno definita (ad esempio, se $g(x) = x^(-3/2)$ quanto vale $g'(-4)$ ? ) [2]
[1] Provo a rispondermi da solo: qui suppongo si possa utilizzare la regola di derivazione della funzione reciproca per cui $D(1/(f(x)))=-(f'(x))/(f(x))^2$, a patto ovviamente che $f(x) != 0$. Tuttavia per ora rimane solo una supposizione perché per esserne convinto devo andarmi a vedere la dimostrazione di questa regola
[2] Qui invece suppongo che, in generale, la derivata di una funzione non esista nei punti in cui non è definita... mi sbaglio?
$D(x^\alpha) =$ (applicando le proprietà dei logaritmi) $= D ( e^(\alpha * \ln x) ) =$ (applicando la regola di derivazione di una funzione composta, anche chiamata regola della catena) $ = e^(\alpha * \ln x) \cdot \frac{\alpha}{x} = x^\alpha \cdot \frac{\alpha}{x} = \alpha x^{\alpha-1} $
Ma appena ho letto ho notato che qualcosa non mi quadrava, ovvero: questo ragionamento non dovrebbe essere corretto solo per le $x$ positive?
Infatti se $x>0$, allora possiamo dire che $x = e^ln(x)$, ma se $x$ fosse negativo? $ln(x)$ non avrebbe senso...
Quindi come posso essere certo che, per esempio, se $f(x) = x^(-2/3)$, $f'(-8) = 64/3$ ? [1]
E se invece la derivata non fosse nemmeno definita (ad esempio, se $g(x) = x^(-3/2)$ quanto vale $g'(-4)$ ? ) [2]
[1] Provo a rispondermi da solo: qui suppongo si possa utilizzare la regola di derivazione della funzione reciproca per cui $D(1/(f(x)))=-(f'(x))/(f(x))^2$, a patto ovviamente che $f(x) != 0$. Tuttavia per ora rimane solo una supposizione perché per esserne convinto devo andarmi a vedere la dimostrazione di questa regola
[2] Qui invece suppongo che, in generale, la derivata di una funzione non esista nei punti in cui non è definita... mi sbaglio?
Risposte
Ma infatti è molto meglio calcolare il limite del rapporto incrementale per trovare la derivata, rispetto ad usare la definizione "pezzotta" della potenza mediante l'esponenziale.
Invero il:
[tex]$\lim_{h\to 0} \frac{(x+h)^\alpha -x^\alpha}{h}$[/tex]
si calcola con tecniche elementari.
Inoltre, dovresti ben sapere che [tex]$g(x):=x^{-\frac{3}{2}}$[/tex] è definita solo per [tex]$x> 0$[/tex]... Quindi come vuoi che sia possibile calcolare [tex]$g^\prime (-4)$[/tex]?!?
Invero il:
[tex]$\lim_{h\to 0} \frac{(x+h)^\alpha -x^\alpha}{h}$[/tex]
si calcola con tecniche elementari.
Inoltre, dovresti ben sapere che [tex]$g(x):=x^{-\frac{3}{2}}$[/tex] è definita solo per [tex]$x> 0$[/tex]... Quindi come vuoi che sia possibile calcolare [tex]$g^\prime (-4)$[/tex]?!?
"gugo82":
Inoltre, dovresti ben sapere che [tex]$g(x):=x^{-\frac{3}{2}}$[/tex] è definita solo per [tex]$x> 0$[/tex]... Quindi come vuoi che sia possibile calcolare [tex]$g^\prime (-4)$[/tex]?!?
Mmmm bene.
Evidentemente troppi pensieri tutti in una volta mi appannano il cervello
Farò una pausa.
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