Dimostrazione derivata funzione composta

[xneo1]

Salve a tutti, ho un problema nel dimostrare la derivata della funzione composta.

Sia \(\displaystyle f(g(x)) \) una funzione composta allora\(\displaystyle D[f(g(x))] \)=$f(g(x))^{\prime}$ $g(x)^{\prime}$

Vorrei sapere se è giusto questo ragionamento:
$lim_(x->x_0)(f(g(x))-f(g(x_0)))/(x-x_0)$

moltiplico e divido per $g(x)-g(x_0)$

quindi si ha:
$lim_(x->x_0)(f(g(x))-f(g(x_0)))/(g(x)-g(x_0)) * (g(x)-g(x_0))/(x-x_0)$

dove il primo prodotto tende a $f(g(x))^{\prime}$ e il secondo a $g(x)^{\prime}$

[Plepp]

Questo trucco va bene se $g(x)-g(x_0)$ è non nullo vicino a $x_0$ (cioè se $g(x)$ non vale costantemente $g(x_0)$ vicino a $x_0$).

In generale puoi fare così: definisci (pongo $y_0:=g(x_0)$)
\[W(y):=
\begin{cases}
\dfrac{f(y)-f(y_0)}{y-y_0}&\text{se}\ y\ne y_0\\
f'(y_0)&\text{se}\ y=y_0
\end{cases}
\]
Se $f$ è derivabile in $y_0$, questa roba è continua; inoltre per ogni $x\ne x_0$ hai
\[\dfrac{f(g(x))-f(g(x_0))}{x-x_0}=W(g(x))\dfrac{g(x)-g(x_0)}{x-x_0}\]
(sia che $g(x)=g(x_0)=y_0$, sia altrimenti!). Manda $x$ a $x_0$ e hai finito