Dimostrazione - Derivabilità => Continuità
Sera a tutti.
Vi chiedo aiuto per questo esercizio.
Testo:
Dimostrare che che se \(\displaystyle f: A \subset \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) ammette derivata destra e sinistra in \(\displaystyle x_0 \in A\), allora la funzione è continua nel punto.
Soluzione:
Se sapessi che la funzione è derivabile nel punto, potrei semplicemente prendere in considerazione la definizione di continuità:
\(\displaystyle \lim_{h \to 0} \: f(x_0 +h) - f(x_0) = 0 \)
quindi
\(\displaystyle \lim_{h \to 0} \: \frac{f(x_0 +h) - f(x_0)}{h} \cdot h = 0 = f'(x_0) \cdot \lim_{h \to 0} h = f'(x_0) \cdot 0 = 0\)
Ma so solo che è derivabile da sinistra e da destra (e questo non implica che sia derivabile nel punto, vedi \(\displaystyle |x| \)).
Idee? Grazie.
EDIT: Mi rispondo da solo, probabilmente la soluzione è dimostrare che è continua da destra e da sinistra, e quindi continua nel punto. Ora vedo!
Vi chiedo aiuto per questo esercizio.
Testo:
Dimostrare che che se \(\displaystyle f: A \subset \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) ammette derivata destra e sinistra in \(\displaystyle x_0 \in A\), allora la funzione è continua nel punto.
Soluzione:
Se sapessi che la funzione è derivabile nel punto, potrei semplicemente prendere in considerazione la definizione di continuità:
\(\displaystyle \lim_{h \to 0} \: f(x_0 +h) - f(x_0) = 0 \)
quindi
\(\displaystyle \lim_{h \to 0} \: \frac{f(x_0 +h) - f(x_0)}{h} \cdot h = 0 = f'(x_0) \cdot \lim_{h \to 0} h = f'(x_0) \cdot 0 = 0\)
Ma so solo che è derivabile da sinistra e da destra (e questo non implica che sia derivabile nel punto, vedi \(\displaystyle |x| \)).
Idee? Grazie.
EDIT: Mi rispondo da solo, probabilmente la soluzione è dimostrare che è continua da destra e da sinistra, e quindi continua nel punto. Ora vedo!
Risposte
Giusta l'idea nell'EDIT.
Si, mi è riuscita grazie!
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