Dimostrazione densità insieme A in R
Salve a tutti,
Sto tentando di risolvere un esercizio e credo di aver trovato una soluzione. Ve la propongo e ne discutiamo:
Traccia: sia \(\displaystyle b \in N, b \ge 2 \) . Provare che l'insieme \(\displaystyle A=\{\frac{m}{b^n} | m \in Z, n \in N^+\} \) è denso in \(\displaystyle R \).
Ho tentato tramite l'induzione:
dati \(\displaystyle x,y \in R, con \: x
\(\displaystyle P(n)=\{\{\frac{m}{b^n} | m \in Z, n \in N^+\} \: è \: denso \: in \: R \}\)
Prendendo come passo base \(\displaystyle P(1)=\{\{\frac{m}{b} | m \in Z, n \in N^+\} \: è \: denso \: in \: R \}\)
È vero, poiché per prop. Archimede \(\displaystyle b(y-x)>1 \)
preso \(\displaystyle A=\{m \in Z \: | \: \frac{m}{b}
Ora esisterà un \(\displaystyle L=supA \) tale che: \(\displaystyle \forall \epsilon\in(0,1) \exists u\in A | L-\epsilon
Da tutto ciò segue che \(\displaystyle \frac{u}{b}
Ora, nella speranza che per il primo passo la procedura sia corretta, e supponendo \(\displaystyle P(n) \) vera, dimostro \(\displaystyle P(n+1) \)
Con lo stesso procedimento giungo a \(\displaystyle \frac{u}{b^{n+1}}
Per il momento concentriamoci sul caso \(\displaystyle x\ge 0 \). Fatemi sapere cosa ne pensate. Sto affrontando per la prima volta dimostrazioni del tipo e tutti i consigli/critiche sono ben accetti.
Buon proseguimento a tutti.
Sto tentando di risolvere un esercizio e credo di aver trovato una soluzione. Ve la propongo e ne discutiamo:
Traccia: sia \(\displaystyle b \in N, b \ge 2 \) . Provare che l'insieme \(\displaystyle A=\{\frac{m}{b^n} | m \in Z, n \in N^+\} \) è denso in \(\displaystyle R \).
Ho tentato tramite l'induzione:
dati \(\displaystyle x,y \in R, con \: x
\(\displaystyle P(n)=\{\{\frac{m}{b^n} | m \in Z, n \in N^+\} \: è \: denso \: in \: R \}\)
Prendendo come passo base \(\displaystyle P(1)=\{\{\frac{m}{b} | m \in Z, n \in N^+\} \: è \: denso \: in \: R \}\)
È vero, poiché per prop. Archimede \(\displaystyle b(y-x)>1 \)
preso \(\displaystyle A=\{m \in Z \: | \: \frac{m}{b}
Ora esisterà un \(\displaystyle L=supA \) tale che: \(\displaystyle \forall \epsilon\in(0,1) \exists u\in A | L-\epsilon
Da tutto ciò segue che \(\displaystyle \frac{u}{b}
Ora, nella speranza che per il primo passo la procedura sia corretta, e supponendo \(\displaystyle P(n) \) vera, dimostro \(\displaystyle P(n+1) \)
Con lo stesso procedimento giungo a \(\displaystyle \frac{u}{b^{n+1}}
Per il momento concentriamoci sul caso \(\displaystyle x\ge 0 \). Fatemi sapere cosa ne pensate. Sto affrontando per la prima volta dimostrazioni del tipo e tutti i consigli/critiche sono ben accetti.
Buon proseguimento a tutti.
Risposte
"lcdatti":
\(\displaystyle P(1)=\{\frac{m}{b} | m \in Z, n \in N^+\} \)
Come fa ad essere denso? Se io prendo $m/(3b)$ e $(2m)/(3b)$, non c'è nessun elemento di $P(1)$ che sta nel mezzo.
"otta96":
[quote="lcdatti"] \(\displaystyle P(1)=\{\frac{m}{b} | m \in Z, n \in N^+\} \)
Come fa ad essere denso? Se io prendo $m/(3b)$ e $(2m)/(3b)$, non c'è nessun elemento di $P(1)$ che sta nel mezzo.[/quote]
\(\displaystyle 1/6 \in R \)
\(\displaystyle 2/6 \in R \)
\(\displaystyle 1/4 \in \: "A(1)" \: | \: 1/6<1/4<2/6=1/3 \)
?
E comunque mi sono limitato, nel dimostrare la proposizione del passo base, a ripercorrere "paro paro" la dimostrazione della densità di Q in R.
Non capisco il tuo commento, comunque in realtà nel mio commento le $m$ a numeratore non volevo mettercele, sono sfuggite.
"lcdatti":
E comunque mi sono limitato, nel dimostrare la proposizione del passo base, a ripercorrere "paro paro" la dimostrazione della densità di Q in R.
Quella però è un'altra roba
Io farei così:
1) Dimostri che comunque presi due razionali, un elemento di $A$ sta in mezzo. (Penso sia facile)
2) Prendi una palla di raggio $delta>0$ $B_delta(x_0)$di un punto $x_0 in RR$. Tale palla contiene almeno due punti $q_1,q_2 in QQ $ per la densità di $QQ$ in $RR$, e in particolare contiene l'elemento "che sta in mezzo " di $A$ dimostrato nel punto precedente. Cioè A è denso in $RR$.
1) Dimostri che comunque presi due razionali, un elemento di $A$ sta in mezzo. (Penso sia facile)
2) Prendi una palla di raggio $delta>0$ $B_delta(x_0)$di un punto $x_0 in RR$. Tale palla contiene almeno due punti $q_1,q_2 in QQ $ per la densità di $QQ$ in $RR$, e in particolare contiene l'elemento "che sta in mezzo " di $A$ dimostrato nel punto precedente. Cioè A è denso in $RR$.
"otta96":
Non capisco il tuo commento, comunque in realtà nel mio commento le $m$ a numeratore non volevo mettercele, sono sfuggite.
"Come fa ad essere denso?"
presi due numeri in R della tipologia scelta da te 1/6, 2/6=1/3, esiste l'elemento 1/4 appartenente a P(1) tale che stia in mezzo (densità in R)
"Weierstress":
Quella però è un'altra roba
Dimostrare il passo P(1) non equivale a dimostrare la densità dei razionali in R, nello specifico caso con denominatore maggiore o uguale di 2? (ma se vale nel caso generico, varrà anche per lo specifico, immagino)
Se non fosse chiaro dalle risposte precedenti il procedimento è sbagliato perché il passo base è falso, e non c'è speranza di risolvere il problema usando il principio di induzione.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo